5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов.

Числовые значения логарифмов вычисляются отнюдь не с помощью формулы (15). Гораздо лучше приспособлено для этой цели совершенно иное, более полезное, явное выражение, имеющее, кроме того, большое теоретическое значение. С помощью метода, примененного на стр. 499 при вычислении мы получим это выражение, опираясь на определение логарифма по формуле (1). Но здесь необходим один предварительный шаг: вместо функции рассмотрим функцию составленную из функций Имеем:

Итак, функция является первообразной по отношению к функции х, и мы заключаем, согласно основной теореме, что интеграл от функции в пределах от 0 до равен выражению ; или, в символической записи,

(Эту формулу можно было бы, конечно, получить и интуитивно из геометрической интерпретации логарифма как площади. Сравните с рассуждением на стр. 503.)

В формулу (16) подставим вместо сумму геометрической прогрессии, как мы это делали на стр. 499, а именно

из осторожности мы предпочитаем оперировать не с бесконечным рядом, а с конечной суммой и остаточным членом, который равен

Подставив эту сумму в формулу (16), можно применить правило почленного интегрирования конечной суммы. Интеграл от степени

в пределах от 0 до равен таким образом, мы получим немедленно

где остаточный член выражается интегралом

Покажем теперь, что стремится к нулю при возрастании предварительно условившись, что переменное х может быть лишь больше —1 и не превышать т. е., другими словами, что выполнено неравенство

(заметим, что включается, в то время как не включается). Согласно нашему предположению в промежутке интегрирования переменное и больше, чем некоторое число —а, которое может быть близко к —1, но во всяком случае больше, чем —1, так что Отсюда следует Поэтому при условии, что и заключено в промежутке от 0 до имеет место неравенство

и, следовательно,

или

Поскольку число является постоянным, мы видим, что выражение, стоящее справа, а следовательно, и стоящее слева при возрастании стремится к нулю; значит, из неравенства

вытекает, что при — справедливо равенство

Подставляя, в частности, получаем любопытную формулу

Эта формула по своей структуре похожа на выведенную раньше формулу, представляющую в виде ряда число

Ряд (18) не имеет большого практического значения для вычисления логарифмов, потому что область изменения величины ограничена промежутком от 0 до 2, а также по той причине, что сходимость ряда очень медленная: пришлось бы брать много членов, чтобы получить сколько-нибудь точный результат. При помощи следующего приема мы получим выражение, практически более удобное. Вместо х в формулу (18) подставим —

Вычитая, далее, формулу (20) из формулы (18) и применяя преобразование мы получим:

Этот ряд сходится быстрее, и, кроме того, левая часть формулы может теперь выразить логарифм любого положительного числа 2, так как

уравнение имеет при любом положительном z решение х, заключенное между Например, если нам нужно вычислить то мы положим и тогда получим

Взяв всего лишь 6 членов, вплоть до члена мы находим значение

с пятью значащими цифрами.