2. Правильные многоугольники.

Рассмотрим теперь несколько более сложные конструктивные задачи. Начнем с построения правильного десятиугольника. Предположим, что правильный десятиугольник вписан в круг радиуса 1 (рис. 32); обозначим его сторону через х. Так как центральный угол, под которым эта сторона х видна из центра

круга, содержит 36°, то остальные два угла большого треугольника содержат каждый по 72°, и, значит, пунктирная линия, делящая пополам угол А, разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника с равными боковыми сторонами длины Радиус круга, таким образом, составляется из отрезков Так как треугольник подобен меньшему из двух треугольников, на которые он разбивается, то мы получаем Эта пропорция приводит к квадратному уравнению решение которого имеет вид (Другое решение нас не интересует, так как оно соответствует отрицательному значению Из полученной формулы ясно, что отрезок может быть построен геометрически. Имея же отрезок мы сможем построить правильный десятиугольник, откладывая по окружности десять раз хорду Отсюда уже легко получить и правильный пятиугольник, соединяя вершины десятиугольника через одну.

Вместо того чтобы строить тем методом, который указан на рис. 31, мы можем также построить гипотенузу прямоугольного треугольника со сторонами 1 и 2. Затем придется отнять единичный отрезок и то, что получится, разделить пополам.

Отношение в рассмотренной задаче было названо «золотым», так как, по мнению греческих математиков, прямоугольник, стороны которого находятся в этом отношении, эстетически особенно приятен для глаза. Значение отношения приблизительно равно 1,62.

Из всех правильных многоугольников легче всего построить шестиугольник. Так как длина стороны такого шестиугольника, вписанного в круг, равна радиусу круга, то сам шестиугольник строится без затруднений, если отложим шесть раз по окружности отрезок, равный радиусу.

Имея правильный -угольник, можно сейчас же получить и правильный -угольник, деля пополам дуги между соседними вершинами -угольника. Начиная с диаметра круга (правильного вписанного «двуугольника»), мы построим последовательно -угольники. Таким же образом, начиная с шестиугольника, мы получим -угольники, а начиная с десятиугольника, -угольники.

Если обозначает длину стороны правильного -угольника, вписанного в единичный круг (т. е. круг с радиусом 1), то сторона правильного вписанного -угольника будет иметь длину

Рис. 34. Удвоение числа сторон правильного многоугольника

Доказывается это следующим образом (рис. 34): пусть . Площадь прямоугольного треугольника равна или, с другой стороны, Так как то, подставляя и сравнивая между собой два выражения для площади, мы получаем

Остается решить квадратное уравнение относительно и при выборе корня принять во внимание, что х должно быть меньше 2.

Из этой формулы, так как длина (сторона квадрата) равна следует, что

В качестве общей формулы мы получаем (при ):

причем в правой части должно быть всего радикалов. Периметр -угольника, вписанного в круг радиуса 1, равен Когда стремится к бесконечности, этот периметр в пределе переходит в длину окружности, по определению равную

Деля на два и подставляя вместо мы получаем следующую формулу для 7г:

Упражнение. Пользуясь тем, что доказать, как следствие, что

Резюмируем полученные здесь результаты таким образом: стороны правильных, вписанных в единичный круг -угольников, -угольников и -угольников вычисляются посредством рациональных операций — сложения, вычитания, умножения, деления — и операции извлечения квадратного корня; следовательно, могут быть построены с помощью только циркуля и линейки.