2. Обобщение на случай n переменных.

Неравенство (1), связывающее средние арифметическое и геометрическое двух положительных величин, может быть обобщено на любое число положительных величин, которые мы будем обозначать Средним

арифметическим этих величин называют выражение

а средним геометрическим — выражение

причем имеется в виду всегда положительное значение радикала. Общая теорема утверждает, что

и что равенство возможно только в том случае, если все величины равны между собой.

Было предложено много различных остроумных доказательств этого общего результата. Простейший метод заключается в применении того же простого рассуждения, которое мы провели в пункте 1. Перед нами стоит проблема: разбить данное положительное число С на положительных слагаемых, таким образом, чтобы произведение было возможно большим. Мы будем исходить из допущения, на первый взгляд очевидного, но мы позднее будем иметь случай его проанализировать (§ 7), что наибольшее значение Р существует и достигается, скажем, при значениях Нам достаточно установить, что ибо в этом случае Допустим, что это не так: пусть, например, Тогда рассмотрим значения

где

Мы заменим, другими словами, прежнюю систему значений величин новой системой, которая отличается от прежней лишь тем, что значения двух первых величин сделаны равными между собой, причем общая сумма С остается неизменной. Мы можем написать

где положено

Новое произведение равно

тогда как прежнее произведение было

Отсюда ясно, что при

а это противоречит сделанному допущению, что произведение Р имеет максимальное значение. Итак, и тогда Таким же образом доказывается, что где а, обозначает любое из чисел а; отсюда следует, что все числа а равны между собой. Мы убедились в том, что 1) если все числа равны между собой, 2) наибольшее значение получается только тогда, когда все числа равны между собой. Отсюда можно заключить, что во всех прочих случаях Теорема доказана.