2. Первые применения. Интегрирование функций x^r, cosx, sinx. Функция arctgx
Здесь невозможно дать исчерпывающее представление о роли основной теоремы, и мы ограничимся тем, что приведем несколько выразительных примеров. В задачах, встречающихся в механике и физике или в самой математике, очень часто приходится подсчитывать числовое значение некоторого определенного интеграла. Прямая попытка найти интеграл как предел может
быть непреодолимо трудной. С другой же стороны, как мы это видели в § 3, любое дифференцирование выполняется сравнительно легко, и без труда возможно накопить очень большое количество формул дифференцирования. Каждая такая формула
обратно, может быть рассматриваема как формула, определяющая первообразную функцию
от функции
Формула (3) позволяет использовать известную первообразную функцию для вычисления интеграла от функции
в некотором данном промежутке.
Если мы, например, хотим найти интегралы от степеней
или в общем виде,
то самое простое — это действовать, как указано в § 1. По формуле дифференцирования степени производная от
равна
так что производная от функции
есть функция
В таком случае функция является первообразной функцией по отношению к функции
а следовательно, мы немедленно получаем формулу
Это рассуждение несравненно проще громоздкой процедуры непосредственного вычисления интеграла как предела суммы.
Как более общий случай, мы нашли в § 3, что при любом рациональном
как положительном, так и отрицательном, производная функции
равна
а потому при
функция
имеет производную
(мы предполагаем, что
т. е. что
. Итак, функция есть первообразная функция, или