Глава I. Натуральные числа

Введение

Число есть основа современной математики. Но что такое число? Если мы говорим, что или что то какой смысл вкладывается в эти утверждения? В школе мы изучаем механизм действий с дробями и с отрицательными числами, но, чтобы приобрести подлинное понимание того, как устроена система чисел, недостаточно ограничиваться элементарными сведениями и нужно пойти несколько дальше. Греки в древнее время в основу созданной ими математики положили геометрические концепции точки и прямой; руководящим принципом современной математики стало сведение в конечном счете всех утверждений к утверждениям, касающимся натуральных чисел 1, 2, 3, ... «Бог создал натуральные числа, все прочее — дело рук человека». Этими словами Леопольд Кронекер (1823-1891) определил тот прочный фундамент, на котором может быть построено здание математики.

Числа служат для того, чтобы считать объекты, входящие в состав тех или иных объединений или собраний. Числа решительно никак не связаны с индивидуальной характеристикой считаемых объектов. Так, число «шесть» есть результат абстрагирования, производимого при рассмотрении всевозможных собраний, содержащих по шесть объектов: оно нисколько не зависит ни от специфических свойств этих объектов, ни от употребляемых символов (обозначений). Но абстрактный характер идеи числа становится ясным только на очень высокой ступени интеллектуального развития. В глазах детей числа всегда остаются соединенными с самими осязаемыми объектами — допустим, пальцами или камешками; в языках народов числа также трактуются конкретно: для обозначения предметов различных типов употребляются различные сочетания числительных слов.

Мы воспользуемся тем, что математик (как таковой) не обязан заниматься философской проблемой перехода от собраний конкретных

объектов к абстрактному понятию числа. Мы примем поэтому натуральные числа как данные вместе с двумя основными операциями, над ними совершаемыми: сложением и умножением.