Глава VIII. Математический анализ
Введение
Было бы слишком большим упрощением представлять себе, что математический анализ «изобретен» двумя людьми: Ньютоном и Лейбницем. В действительности он сложился в итоге долгой эволюции, которая не была ни начата, ни закончена Ньютоном или Лейбницем, но в которой они оба сыграли значительную роль. Несколько математиков-энтузиастов из разных стран Европы в XVII в. поставили своей целью продолжение математической работы Галилея и Кеплера. Эти люди поддерживали друг с другом тесное общение с помощью переписки и личных встреч. Внимание их было привлечено двумя центральными проблемами. Во-первых, проблемой касательной: определить касательную к данной кривой — основная задача дифференциального исчисления. Во-вторых, проблемой квадратуры: определить площадь, связанную с заданной кривой, — основная задача интегрального исчисления. Величайшей заслугой Ньютона и Лейбница является то, что они ясно осознали внутреннюю связь между этими двумя проблемами. И вот объединенный таким образом метод сделался в их руках мощным орудием науки. В значительной степени успех был обусловлен поистине чудесными символическими обозначениями, придуманными Лейбницем. Заслуги этого ученого нисколько не умаляются тем, что им руководили смутные неуловимые идеи, такие идеи, которые иной раз способны заменить недостаток точного понимания в умах, предпочитающих мистицизм ясности. Ньютон, деятель точной науки в подлинном смысле слова, был, по-видимому, главным образом вдохновляем своим учителем и предшественником по Кембриджу Барроу (1630-1677), Лейбниц же пришел к математике скорее со стороны. Блестящий знаток законов, дипломат и философ, один из самых деятельных и многосторонних умов своего века, он изучил новейшую математику в невероятно короткое время у Гюйгенса, физика по специальности, во время своего пребывания в Париже в дипломатической миссии. Вскоре после этого он опубликовал результаты, которые содержат в себе ядро современного анализа. Ньютон, открытия которого были сделаны много раньше,
не был расположен их опубликовывать. Более того, хотя первоначально многие результаты, содержащиеся в его несравненном произведении «Principia», он нашел с помощью методов анализа, изложить их он предпочел в стиле классической геометрии; таким образом, в «Principia» почти совсем нет явных следов анализа. Лишь позднее были опубликованы его работы о методе «флюксий». Его почитатели вступили в жестокую схватку из-за приоритета с друзьями Лейбница. Они обвиняли последнего в плагиате, хотя трудно себе представить что-либо более естественное, чем одновременное и независимое открытие, когда атмосфера уже насыщена элементами какой-нибудь новой теории. Последовавшие пререкания по поводу «изобретения» анализа служат грустным примером того, как переоценивание вопросов о первенстве способно отравить атмосферу естественного научного единения.
Настоящая глава должна быть рассматриваема как элементарное введение, имеющее своей целью в гораздо большей степени познакомить читателя с основными концепциями, чем научить формальным операциям. Мы будем здесь широко применять «интуитивный язык», но при этом позаботимся, чтобы он не оказывался в противоречии с точными понятиями и научно обоснованными операциями.
