2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга.

Докажем теперь, не прибегая к пространственному проектированию, что если два треугольника и расположены на плоскости так, как изображено на рис. 72, т. е. если прямые, соединяющие соответствующие вершины, встречаются в одной и той же точке, то точки пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой. Для этого прежде всего спроектируем чертеж таким образом, чтобы точки ушли в бесконечность. После такого проектирования прямая станет параллельна прямой а прямая прямой (рис. 87). Как было отмечено в пункте 1 настоящего параграфа, чтобы доказать

теорему Дезарга в общем случае, достаточно доказать ее только для случая рассматриваемой здесь частной конфигурации. Именно, достаточно показать, что точка Р пересечения сторон и также уйдет в бесконечность, т. е. что прямая параллельна прямой тогда точки будут коллинеарны (так как все три будут лежать на бесконечно удаленной прямой). Обратим внимание на то, что

и

Поэтому а отсюда следует что и требовалось доказать.

Рис. 88. Конфигурация Паскаля

Следует отметить, что приведенное доказательство теоремы Дезарга опирается на математическое понятие длины отрезка. Таким образом, проективная теорема доказана в данном случае метрическими средствами. Другое заслуживающее внимания обстоятельство заключается в следующем. Мы указывали раньше (стр. 218), что понятию проективного преобразования может быть дано «внутреннее» определение («проективное преобразование плоскости — такое, которое оставляет инвариантными все двойные отношения»): отсюда вытекает, что теорема Дезарга способна быть сформулирована и доказана без выхода в пространство, т. е. без использования трехмерных представлений и построений.

Упражнение. Доказать подобным же образом теорему, обратную дезарговой: если треугольники и таковы, что коллинеарны, то прямые конкуррентны.