3. График функции. Обратные функции.

Часто характер Функции чрезвычайно ясно выражается с помощью простого графика. Если координаты на плоскости относительно двух взаимно перпендикулярных осей, то линейные функции, а именно,

изображаются прямыми линиями; квадратические функции

Рис. 151. Графики функций и

Рис. 152.

— параболами; функция

— гиперболой и т. д. По определению, график некоторой функции состоит из всех тех точек плоскости, координаты которых связаны уравнением Функции представлены графически на рисунках 151 и 152. Эти графики наглядно показывают, как возрастают или убывают функции при изменении х.

Одним из важных методов, служащих для введения новых функций, является следующий. Исходя из некоторой известной функции можно попытаться решить уравнение относительно X — так, чтобы X было выражено как функция от

Тогда функция называется обратной относительно функции . Этот процесс приводит к результату однозначно только в том случае, если функция определяет взаимно однозначное отображение области изменяемости X на область изменяемости т. е. если неравенство всегда влечет за собой неравенство

Рис. 153.

Только при этом условии каждому значению будет соответствовать единственное значение Здесь будет кстати вспомнить приведенный выше пример, в котором роль независимого переменного X играл любой треугольник на плоскости, а в качестве функции рассматривался его периметр. Очевидно, что такое отображение множества S треугольников на множество Г положительных чисел не является взаимно однозначным, так как имеется бесконечное количество различных треугольников с одним и тем же периметром. Итак, в этом случае соотношение не может служить для однозначного определения обратной функции. С другой стороны, функция где пробегает множество S всех целых чисел, множество Г четных чисел, напротив, дает взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, и обратная функция будет определена. В качестве другого примера данного однозначного отображения приведем функцию

Когда х пробегает множество всех действительных чисел, и тоже пробегает множество всех действительных чисел, принимая каждое значение один и только один раз. Однозначно определенная в этом примере обратная функция имеет вид:

В случае функции

обратная функция не определена однозначно. В самом деле, в силу того, что каждому положительному значению и соответствуют два разных значения («прообраза») х. Но если под символом подразумевать (как это часто и делается) положительное число, квадрат которого есть х, то обратная функция

существует, если только мы условимся, что рассматривать будем лишь положительные значения

Рис. 154. Взаимно обратные функции

Существование обратной функции может быть сразу установлено при взгляде на график данной функции. Обратная функция существует, определяясь однозначно, в том случае, если каждому значению и соответствует только одно значение х. Геометрически это означает, что нет такой прямой, параллельной оси х, которая пересекала бы график более чем в одной точке. Само собой разумеется, что так будет в том случае, если функция монотонная, т. е. или все время возрастающая, или, наоборот, все время убывающая (при возрастании х). Например, если функция всюду возрастающая, то при мы всегда имеем . Следовательно, для данного значения и существует не более одного значения х, такого, что и обратная функция будет определяться однозначно. График обратной функции получается из данного графика просто путем вращения его на угол в 180° вокруг пунктирной прямой (рис. 154) таким образом, что роли оси х и оси и между собой меняются. Новое положение графика изображает х как функцию от и. В основном положении график указывает значение и и как высоты над горизонтальной осью х, в то время как после поворота вновь полученный график указывает значение х как высоты над горизонтальной осью и.

Рассуждения этого параграфа можно иллюстрировать на примере функции

Эта функция монотонна в промежутке — (рис. 152): значения и, все время возрастающие вместе с х, изменяются от до отсюда ясно, что обратная функция

Рис. 155.

определена для всех значений . Эту функцию обозначают Таким образом, поскольку График изображен на рис. 155.