4. Основная теорема алгебры.

Не только уравнения вида или разрешимы в поле комплексных чисел, но можно утверждать гораздо больше: всякое алгебраическое уравнение степени с действительными или комплексными коэффициентами

разрешимо в поле комплексных чисел. Для случая уравнений 3-й и 4-й степеней эта теорема была установлена в XVI в. Тартальей, Карданом и

другими: оказалось, что такие уравнения решаются посредством формул, подобных формуле квадратного уравнения, но значительно более сложных. В течение почти двух столетий длилось настойчивое изучение общего уравнения 5-й и более высоких степеней, но все усилия разрешить их теми же методами оказались напрасными. Когда молодому Гауссу в его докторской диссертации (1799) удалось впервые доказать, что решения существуют, то это уже было крупнейшим успехом; правда, вопрос о возможности обобщить на случай степеней 5 классические формулы, позволяющие находить корни с помощью рациональных операций и извлечения корней, оставался в то время открытым (см. стр. 155).

Теорема Гаусса утверждает, что, каково бы ни было алгебраическое уравнение вида (17), где целое положительное число, а коэффициенты а — действительные или даже комплексные числа, существует по крайней мере одно такое комплексное число что

Число а называется корнем уравнения (17). Доказательство этой теоремы будет приведено в этой книге на стр. 313-315. Предположим пока, что теорема доказана, и выведем из нее другую теорему, известную под названием основной теоремы алгебры (было бы, впрочем, правильнее назвать ее основной теоремой комплексной числовой системы): всякий алгебраический полином степени

может быть представлен в виде произведения ровно множителей:

где — комплексные числа, корни уравнения Так, например, полином

разлагается на множители следующим образом:

Что числа а являются корнями уравнения это очевидно из самого разложения (19), так как при один из множителей а следовательно, и сам полином обращаются в нуль.

В иных случаях не все множители полинома степени оказываются различными; так, в примере

мы имеем только один корень, «считаемый дважды», или «кратности 2». Во всяком случае, полином степени не может разлагаться в произведение более чем различных множителей вида , и соответствующее уравнение не может иметь более корней.

При доказательстве основной теоремы алгебры мы воспользуемся — не в первый раз — алгебраическим тождеством

которое при служило нам для определения суммы геометрической прогрессии. Предполагая теорему Гаусса доказанной, допустим, что есть корень уравнения (17), так что

Вычитая это выражение из и перегруппировывая члены, мы получим тождество

Пользуясь теперь формулой (20), мы можем выделить множитель из каждого члена и затем вынести его за скобку, причем степень многочлена, остающегося в скобках, станет уже на единицу меньше. Перегруппировывая снова члены, мы получим тождество

где многочлен степени :

(Вычисление коэффициентов, обозначенных через нас здесь не интересует.) Применим дальше то же рассуждение к многочлену По теореме Гаусса, существует корень уравнения так что

где новый многочлен степени уже Повторяя эти рассуждения раз (подразумевается, конечно, применение принципа математической индукции), мы, в конце концов, приходим к разложению

Из тождества (22) следует не только то, что комплексные числа суть корни уравнения (17), но и то, что иных корней уравнение (17) не имеет. Действительно, если бы число у было корнем уравнения (17), то из (22) следовало бы

Но мы видели (стр. 129), что произведение комплексных чисел равно нулю в том и только в том случае, если один из множителей равен нулю. Итак, один из множителей равен 0, т. е. что и требовалось установить.