утверждать, что последовательность 
также имеет предел а. Формальное доказательство этой теоремы мы можем предоставить читателю.
Ясно, что применение указанной схемы потребует оперирования неравенствами. В связи с этим своевременно напомнить небольшое число элементарных правил, которым подчинены арифметические операции с неравенствами.
1. Если 
то 
(к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число).
2. Если 
— положительно, то 
(можно умножить неравенство на положительное число).
3. Если 
то 
(направление неравенства меняется при умножении на —1). Так, 
но 
4. Если а и 
одного и того же знака, то из неравенства 
следует 
2. Предел 
Если 
число, большее чем 1, то члены последовательности 
неограниченно возрастают; например, так будет при 
Такие последовательности «стремятся к бесконечности» (см. стр. 340). В самом общем случае доказательство этого основывается на важном неравенстве (см. стр. 42)
где 
какое угодно положительное число. Мы положим 
где 
тогда
Пусть 
сколь угодно большое положительное число; в таком случае и достаточно взять 
чтобы получить неравенство
значит, 
Если 
то все члены последовательности равны 1, и, значит, предел последовательности есть 1. Если 
отрицательно, то знаки 
чередуются, и в случае 
предела нет.
Упражнение. Дайте строгое доказательство последнему утверждению.
На стр. 96 мы установили, что если 
то 
Дадим здесь еще другое, очень простое доказательство. Рассмотрим случай 
Тогда члены последовательности 
монотонно убывают, оставаясь положительными. Отсюда следует (см. стр. 342), что последовательность имеет предел: 
а. Умножая обе части последнего соотношения на 
получим: 
Но 
должно иметь тот же предел, что и 
так как дело не меняется от того, как обозначен возрастающий показатель — через 
или через 
Значит, 
или 
Так как по условию, 
, то отсюда следует 
Если 
предыдущее утверждение тривиально. Если, наконец, 
то 
поэтому, как только что доказано, 
Но в таком случае 
при условии 
Доказательство закончено.
Упражнение. Доказать, что при 
3) 
стремится к бесконечности при 
к нулю при 
3. Предел 
Последовательность чисел
т. е.
имеет предел 1, каково бы ни было положительное число 
(Символ 
обозначает, как всегда, положительный корень степени 
В случае, если 
отрицательно, при 
четном не существует действительных корней степени 
Докажем соотношение (3). Предположим, прежде всего, что 
тогда также 
Мы можем положить
причем 
положительная величина, зависящая от 
Из неравенства (2) следует
Деление на 
дает
Так как последовательности 
обе имеют предел О, то на основании рассуждения, приведенного в пункте 
также при возрастании 
имеет предел 0, и наше утверждение, таким образом, доказано в случае 
Мы встретились здесь с очень типическим примером, когда предельное соотношение, в данном случае 
, устанавливается посредством заключения 
между двумя границами, пределы которых определяются более просто.
Кстати, мы получили оценку для разности 
между 
и 
эта разность непременно меньше, чем
Если 
то 
и можно положить
где 
снова положительное число, зависящее от 
Отсюда следует
так что
и, значит, 
стремится к нулю при 
И тогда, очевидно, 
«Уравнивающее» воздействие извлечения корня степени 
выражающееся в том, что результаты извлечения корней последовательно возрастающих степеней из данного положительного числа приближаются к единице, остается в силе иногда и в том случае, если само подрадикальное выражение не остается постоянным. Мы проверим сейчас, что
Небольшое ухищрение позволит нам сослаться опять на неравенство (2). Вместо корня степени 
из 
возьмем корень степени 
из 
Полагая 
где 
положительная величина, зависящая от 
получим с помощью упомянутого неравенства, 
так что
Значит,
Правая часть этого неравенства стремится к 1 при 
и потому то же самое можно сказать относительно 
может быть доказана по следующей схеме. Мы рассматриваем две другие последовательности 
, члены которых, вообще говоря, имеют более простую структуру и обладают тем свойством, что
Тогда, если будет установлено, что последовательности 
имеют один и тот же предел а, можно будет
