2. Доказательство теоремы Больцано.

Дадим строгое доказательство этой теоремы. Если следовать Гауссу и другим великим математикам, то можно принять этот факт и без доказательства. Нашей целью является сведение этой теоремы к основным свойствам системы действительных чисел, в частности, к постулату Дедекинда-Кантора о стягивающихся отрезках (стр. 102). Для этого рассмотрим отрезок в котором задана функция разобьем его на два средней точкой Если в этой средней точке мы получим то доказывать больше уже нечего. Если, однако, то должно быть или больше, или меньше нуля. В обоих случаях одна из половинок отрезка I будет снова обладать тем свойством, что знаки значений функции на его концах различны.

Обозначим этот отрезок через Мы повторим этот процесс, деля отрезок пополам; тогда в середине или имеем или мы можем выбрать такую половину отрезка для которой опять знаки значений функции на двух концах различны. Повторяя эту процедуру, мы, в конце концов, или найдем после конечного числа делений точку, в которой или получим последовательность стягивающихся отрезков

В последнем случае постулат Дедекинда-Кантора обеспечивает существование в исходном отрезке I такой точки а, которая принадлежит всем отрезкам сразу. Мы утверждаем, что так что а и будет той точкой, существование которой нужно доказать.

До сих пор предположение о непрерывности функции использовано еще не было. Сейчас придется на него сослаться, заканчивая доказательство способом от противного. Мы докажем, что допуская противоположное и приходя затем к противоречию. Предположим, что пусть, например, Так как функция непрерывна, то мы найдем (может быть маленький) отрезок длины 25 с центром в точке а — такой, что значение функции во всем промежутке отличается от меньше, чем на Затем, так как то мы можем быть уверены, что в каждой точке т. е. что в отрезке Но отрезок фиксирован, и если достаточно велико, то маленький отрезок должен непременно попасть внутрь поскольку последовательность длин стремится к нулю. В этом заключается противоречие: в самом деле; из того, каким образом был выбран промежуток вытекает, что функция имеет противоположные знаки в двух конечных точках каждого промежутка так что функция принимает отрицательные значения где-то в промежутке Отсюда следует нелепость предположения а также (совершенно таким же образом) следовательно, доказано, что