2. Порядок возрастания ln(n!)

Во многих приложениях, например, в теории вероятностей, важно знать порядок возрастания или «асимптотическое поведение» выражения при очень больших значениях Займемся здесь изучением логарифма от т. е. выражения

Рис. 287. Оценка

Мы покажем, что в качестве «асимптотического значения» выражения может служить произведение т. е. что

при

Проведем доказательство так, как это обыкновенно делается, когда нужно сравнить сумму с интегралом. На рис. 287 сумма равна сумме площадей прямоугольников, верхние стороны которых обозначены сплошными линиями и общая площадь которых не превосходит площади

в пределах от 1 до под логарифмической кривой [см. стр. 577, упражнение (а)]. Но в то же самое время сумма равна сумме площадей прямоугольников, верхние стороны которых обозначены пунктиром и общая площадь которых превосходит площадь под той же кривой в пределах от 1 до

Отсюда мы имеем

разделив неравенство на получим

Очевидно, и верхняя и нижняя границы, между которыми заключено отношение стремятся к единице, и таким образом наше утверждение доказано.

Упражнение. Доказать, что упомянутые выше границы соответственно больше чем и меньше чем