3. Предел sin x/x

Если х обозначает угол в радианном измерении, то выражение определено для всех значении х, за исключением значения при котором оно принимает вид не имеющего смысла символа . С помощью таблиц тригонометрических функций читатель может подсчитать значение частного для малых значений х. Эти таблицы обычно даются для градусного измерения углов; мы напоминаем (см. § 1, пункт 2), что градусная мера х связана с радианной мерой у следующим соотношением: (с точностью до пятого десятичного знака). Из четырехзначных таблиц мы находим следующие значения:

Хотя точность чисел здесь ограничивается четырьмя знаками, все Же эти данные приводят к мысли, что

Рис. 169. Основное тригонометрическое неравенство

Сейчас мы дадим строгое доказательство этому предельному соотношению.

В силу определения тригонометрических функций с помощью единичного круга, мы имеем следующие соотношения для величины х, являющейся радианной мерой угла (см. рис. 169) при ограничении

Отсюда вытекает двойное неравенство:

Деля на получим, далее,

или

Но, с другой стороны,

Так как то отсюда следует, что

или

Совместно с неравенством (2) это дает окончательно нужные нам неравенства

Мы предполагаем, что однако неравенства (4) справедливы и при условии поскольку Ли

Предельное соотношение (1) вытекает немедленно из неравенств (4). В самом деле, разность между и 1 меньше, чем может быть сделано меньше, чем любое число , если только взять

Упражнения.

(см. скан)