Главная > Что такое математика?
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Квадратические вычеты.

Обращаясь снова к примерам, иллюстрирующим теорему Ферма, мы можем подметить, что не только всегда справедливо сравнение но (предположим, что есть простое число, отличное от 2, значит, — нечетное, при некоторых значениях а справедливо также сравнение

Это обстоятельство вызывает ряд заслуживающих внимания соображений. Теорему Ферма можно записать в следующем виде:

Так как произведение делится на только в том случае, если один из множителей делится на то, значит, одно из чисел или должно делиться на поэтому, каково бы ни было простое число и каково бы ни было число а, не делящееся на непременно должно иметь место одно из двух сравнений:

Начиная с самого возникновения современной теории чисел, математики были заинтересованы выяснением вопроса: для каких чисел а оправдывается первое сравнение, а для каких — второе? Предположим, что а сравнимо по модулю с квадратом некоторого числа х,

Тогда и согласно теореме Ферма правая, а следовательно, и левая части сравнения должны быть сравнимы с 1 по модулю Такое число а (не являющееся кратным которое по модулю сравнимо с квадратом некоторого числа, называется квадратическим вычетом напротив, число не кратное которое не сравнимо ни с каким квадратом по модулю называется квадратическим невычетом Мы только что видели, что всякий квадратический вычет а числа удовлетворяет сравнению Довольно легко установить,

что всякий невычет числа удовлетворяет сравнению Кроме того, мы покажем (несколько дальше), что среди чисел имеется в точности — квадратических вычетов и — невычетов.

Хотя с помощью прямых подсчетов можно было собрать немало эмпирических данных, но открыть сразу общие законы, регулирующие распределение квадратических вычетов, было нелегко. Первое глубоко лежащее свойство этих вычетов было подмечено Лежандром (1752-1833); позднее Гаусс назвал его законом взаимности. Этот закон касается взаимоотношения между двумя различными простыми числами Он заключается в следующем:

1) Предположим, что произведение четное. Тогда есть вычет в том и только в том случае, если есть вычет

2) Предположим, напротив, что указанное произведение — нечетное. Тогда ситуация резко меняется: есть вычет если есть невычет и наоборот.

Первое строгое доказательство закона взаимности, долгое время остававшегося гипотезой, данное Гауссом еще в молодости, явилось одним из крупных его достижений. Доказательство Гаусса никоим образом нельзя назвать простым, и в наше время провести доказательство закона взаимности стоит известного труда, хотя количество различных опубликованных доказательств очень велико. Истинный смысл закона взаимности вскрылся лишь в недавнее время — в связи с новейшим развитием алгебраической теории чисел.

В качестве примера, иллюстрирующего распределение квадратических вычетов, возьмем Так как по модулю

и так как дальнейшие квадраты повторяют эту последовательность, то квадратическими вычетами числа 7 являются числа, сравнимые с 1, 2 и 4, а невычетами — числа, сравнимые с 3, 5 и 6. В общем случае квадратические вычеты составляются из чисел, сравнимых с числами Но эти последние попарно сравнимы, так как

Действительно, Значит, половина чисел представляет собою квадратические вычеты числа а другая половина — невычеты.

Чтобы дать иллюстрацию также и закону взаимности, положим Так как то 11 есть квадратический вычет по модулю 5, и так как, кроме того, произведение четное, то, согласно закону взаимности, 5 должно быть также квадратическим вычетом по модулю 11; и в самом деле, мы видим, что . С другой стороны, положим Тогда произведение и в этом случае 11 есть вычет по модулю 7 (так как невычет по модулю 11.

Упражнения.

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление