3. Основная теорема алгебры.

Основная теорема алгебры утверждает, что если функция имеет вид

где какие угодно комплексные числа, то существует такое комплексное число а, что Другими словами, в поле комплексных чисел всякое алгебраическое уравнение имеет корень. (Основываясь на этой теореме, мы на стр. 137 сделали дальнейшее заключение: полином может быть разложен на линейных Множителей

нули Замечательно, что эту теорему можно доказать, исходя из соображений топологического характера, как и Теорему Брауэра о неподвижной точке.

Пусть читатель вспомнит, что комплексное число есть символ вида где действительные числа, а символ обладает свойством Комплексное число изображается точкой в плоскости прямоугольных координат. Если мы введем в этой же плоскости полярные координаты, принимая начало координат за полюс, а положительное направление оси х за полярную ось, то можно будет написать

где Из формулы Муавра следует, что (см. стр. 132). Отсюда ясно, что если комплексное число z описывает круг радиуса с центром в начале координат, то опишет ровно раз круг с радиусом Напомним еще, что модуль (обозначаемый через представляет собой расстояние от 0 и что, если то есть расстояние между После этих напоминаний можно перейти к доказательству теоремы.

Рис. 150. Доказательство основной теоремы алгебры

Допустим, что полином (1) не имеет корней, так что при любом комплексном

При этом допущении, если z описывает некоторую замкнутую кривую в х, у плоскости, то опишет некоторую замкнутую кривую Г, не проходящую через начало координат (рис. 150). Можно определить порядок точки О для функции относительно замкнутой кривой С как число полных поворотов, совершаемых вектором, идущим от О к точке на кривой Г, когда z делает полный обход по кривой С. Возьмем

в качестве кривой С окружность с центром О и радиусом и обозначим через порядок точки О для функции относительно окружности с центром О и радиусом Очевидно. так как круг радиуса 0 сводится к одной точке и кривая Г также сводится к одной точке Если мы докажем, что при достаточно больших значениях функция равна то в этом уже будет заключаться противоречие, так как, с одной стороны, порядок должен быть непрерывной функцией t (поскольку есть непрерывная функция а с другой стороны, функция может принимать только целые значения и потому никак не может перейти от значения 0 к значению непрерывно.

Нам остается доказать, что при достаточно больших значениях

Для этого заметим, что если радиус круга удовлетворяет неравенствам

то

Так как выражение слева есть не что иное, как расстояние между точками а выражение в самой правой части неравенства — расстояние точки от начала координат, то мы видим отсюда, что отрезок, соединяющий точки не пройдет через начало координат, если только z будет находиться на круге радиуса с центром в начале. В таком случае имеется возможность деформировать кривую, описываемую точкой в кривую, описываемую точкой без прохода через начало, смещая непрерывным движением каждую точку к соответствующей точке по прямоугольному отрезку. При этом порядок начала может принимать только целые значения и, вместе с тем, во время деформации может меняться не иначе, как непрерывно; значит, для обеих функций он одинаков, и так как для равен то имеет то же самое значение и для Доказательство Кончено.