6. Функции нескольких переменных.

Вернемся к систематическому рассмотрению понятия функции. Если независимым переменным Р является точка плоскости с координатами и если каждой такой точке Р соответствует единственное число и (например, и может быть расстоянием точки Р от начала), тогда принято писать

Это обозначение употребляется также и в том случае, если, как это часто бывает, две величины явно указываются самими условиями задачи как независимые переменные. Например, давление и газа есть функция объема х и температуры у, площадь и треугольника есть Функция длин трех его сторон

Так же, как график дает геометрическое представление функции одного переменного, можно получить и геометрическое представление Функции двух переменных в виде поверхности в трехмерном пространстве с переменными х, у, и в качестве координат. Каждой точке х, у в плоскости х, у мы сопоставляем точку пространства

Рис. 161. Поверхность вида

Рис. 162. Линии уровня поверхности, изображенной на рис. 161

с координатами Таким образом, представляется поверхностью сферы с уравнением линейная функция с — плоскостью, функция гиперболическим параболоидом и т. д.

Рис. 163. Линии уровня поверхности у

Можно дать и другое представление функции притом не выходя за пределы плоскости х, у, именно, с помощью линий уровня (горизонталей). Вместо того чтобы рассматривать трехмерный «ландшафт» поверхности в трехмерном пространстве, мы вычерчиваем, как это иногда делают на географических картах, «линии уровня» функции, являющиеся проекциями на плоскость х, у всех точек поверхности, находящихся на одном и том же расстоянии и по вертикали от плоскости х, у. Эти линии уровня имеют уравнения вида где с постоянно для каждой кривой. Так, например, функция у характеризуется рис. 163. Линии уровня поверхности сферы представляют собой семейство концентрических окружностей. Функция которой соответствует параболоид вращения, характеризуется также окружностями (рис. 165). Числами, отнесенными к каждой кривой, можно указывать высоту .

Функции нескольких переменных встречаются в физике при описании движения непрерывной среды или каких угодно протяженных

Рис. 164. Параболоид вращения

Рис. 165. Соответствующие линии уровня

объектов. Рассмотрим хотя бы струну, натянутую между двумя точками на оси х и затем деформированную таким образом, что частица с координатой х отодвинута на некоторое определенное расстояние перпендикулярно к оси. Если струна будет отпущена, то она придет в движение, т. е. начнет колебаться; тогда точка (частица) струны с начальной координатой х в момент времени будет находиться на расстоянии от оси х. Движение струны будет полностью определено, если только будет известна функция

Определение непрерывности, данное для функций одного переменного, распространяется непосредственно и на функции нескольких переменных. Говорят, что функция непрерывна в точке если значение всегда стремится к значению когда точка х, у приближается к точке по любому направлению или любым способом.

Впрочем, имеется одно существенное различие между функциями одного и нескольких переменных. В последнем случае понятие обратной функции теряет смысл, так как мы не можем решить уравнение например, так, чтобы каждое из независимых переменных х и у было бы выражено с помощью только одного переменного и. Но это различие между функциями одного и нескольких переменных исчезает, если мы перейдем, далее, к рассмотрению преобразований или отображений.