§ 5. Две основные теоремы о непрерывных функциях

1. Теорема Больцано.

Бернард Больцано (1781-1848), католический священник, знаток схоластической философии, был одним из первых, кто ввел в математический анализ современное понятие строгости. Его замечательная книжка «Paradoxien des Unendlichen» появилась в 1850 г. Здесь впервые было признано, что многие, казалось бы, очевидные утверждения, касающиеся непрерывных функций, могут и должны быть доказаны, если имеется в виду применять их во всей их общности. Примером этого может служить следующая теорема о функциях одного переменного.

Рис. 172. Теорема Больцано

Непрерывная функция переменного х, положительная при некотором значении и отрицательная при некотором другом значении х из замкнутого интервала непрерывности а должна обращаться в нуль при некотором промежуточном значении х. Итак, если функция непрерывна при изменении от а до и при этом то существует такое значение а переменного что

Теорема Больцано прекрасно согласуется с нашим интуитивным представлением о непрерывной кривой, которая неизбежно должна пересечь в какой-нибудь точке ось чтобы перейти с одной ее стороны на другую. Что, напротив, это не обязательно в случае разрывной функции, показывает рис. 157 на стр. 329.