Главная > Что такое математика?
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений.

Одной из лучших иллюстраций принципа двойственности применительно к коническим сечениям является взаимоотношение между общими теоремами Паскаля и Брианнюна. Первая из них была открыта в 1640, вторая — в 1806 г. И, однако,

каждая из них есть непосредственное следствие другой, так как всякая теорема, формулировка которой упоминает только конические сечения, прямые и точки, непременно остается справедливой при изменении формулировки по принципу двойственности.

Теоремы, доказанные в § 5 под теми же наименованиями, представляют собой «случаи вырождения» следующих более общих теорем.

Теорема Паскаля. Противоположные стороны шестиугольника, вписанного в коническое сечение, пересекаются в трех коллинеарных точках.

Теорема Брианшона. Три диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, описанного около конического сечения, конкуррентны.

Обе теоремы — очевидно проективного содержания. Их двойственное взаимоотношение бросается в глаза, если сформулировать их следующим образом:

Рис. 106. Общая конфигурация Брианшона. Показаны только два случая

Теорема Паскаля. Дано шесть точек 1, 2, 3, 4, 5, 6 на коническом сечении. Соединим последовательные точки прямыми . Отметим точки пересечения прямых и Эти три точки лежат на одной прямой.

Теорема Брианшона. Дано шесть касательных 1, 2, 3, 4, 5, 6 к коническому сечению. Последовательные касательные пересекаются в точках . Проведем прямые,

Рис. 107. Доказательство теоремы Паскаля

соединяющие точки и Эти три прямые проходят через одну точку.

Доказательства проводятся с помощью специализации такого же рода, как и в рассмотренных раньше случаях вырождения. Докажем теорему Паскаля. Пусть вершины шестиугольника, вписанного в коническое сечение К. Посредством проектирования можно сделать параллельными прямые и и (и тогда получится конфигурация, изображенная на рис. 107; ради удобства шестиугольник на чертеже взят самопересекающимся, хотя в этом нет никакой необходимости.) Нам нужно теперь доказать только одно: что прямая параллельна прямой другими словами, что противоположные стороны пересекаются на бесконечно удаленной прямой. Для доказательства рассмотрим четверку точек которая, как мы знаем, при проектировании из любой точки К сохраняет одно и то же двойное отношение, скажем, к. Станем проектировать из точки С на прямую получим четверку точек причем

Станем теперь проектировать из точки Е на прямую получим Четверку точек причем

Итак,

что как раз и обозначает, что Доказательство теоремы Паскаля закончено.

Теорема Брианшона, как было указано, следует из теоремы Паскаля по принципу двойственности. Но ее можно доказать и непосредственно — путем рассуждения, двойственного относительно только что приведенного. Провести это рассуждение во всех деталях будет прекрасным упражнением для читателя.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление