Проективная и неевклидова геометрия

43. Найти все значения двойного отношения А четырех гармонических точек, если эти точки подвергаются всевозможным перестановкам. (Ответ:

44. При каких расположениях четырех точек какие-нибудь два из шести значений двойного отношения на стр. 216 совпадают между собой? (Ответ: только при или имеется только одно мнимое значение А, при котором ему соответствует «эквигармоническое» двойное отношение.)

45. Удостоверьтесь, что равенство двойного отношения единице означает совпадение точек

46. Докажите утверждения, касающиеся двойного отношения плоскостей, приведенные на стр. 217.

47. Докажите: если точки взаимно обратны относительно окружности и диаметр коллинеарен с точками то четверка точек гармоническая. (Указание: воспользуйтесь формулой (2) на стр. 218; предположите, что данная окружность единичная и что ось координат.)

48. Найдите координату четвертой гармонической точки относительно данных точек Что случится, если станет приближаться к середине отрезка (См. стр. 225.)

49. Попробуйте развить теорию конических сечений, исходя из сфер Данделена. В частности, докажите, что все они, за исключением окружностей, являются геометрическим местом точек, для которых расстояния от данной точки и от данной прямой находятся в постоянном отношении к. При получается гипербола, при парабола, при эллипс. Прямая I получается как пересечение плоскости конического сечения с плоскостью того круга, по которому сфера Данделена соприкасается с конусом. (Именно по той причине, что круг приходится особо оговаривать как предельный случай, не совсем удобно принимать указанное свойство в качестве определения конических сечений, что, впрочем, делается довольно часто.)

50. Обсудите следующее положение: «коническое сечение, рассматриваемое одновременно как множество точек и как множество касательных прямых, само себе двойственно» (см. стр. 249).

51. Попробуйте доказать теорему Дезарга, выполняя предельный переход от пространственной конфигурации, изображенной на рис. 73 (см. стр. 211).

52. Сколько можно провести в пространстве прямых, пересекающихся с данными четырьмя прямыми? Как их можно характеризовать? (Указание: через три данные прямые проведите гиперболоид, см. стр. 255.)

53. Возьмем в качестве круга Пуанкаре единичный круг в комплексной плоскости. Пусть какие-то две точки внутри этого круга, а — точки пересечения с окружностью «прямой линии», проходящей через хогда двойное отношение в соответствии с упражнением 8 на стр. 133, имеет действительное значение; докажите это. По определению, его логарифм есть гиперболическое расстояние между

54. С помощью инверсии преобразуйте круг Пуанкаре в верхнюю полуплоскость. Исследуйте эту полуплоскость как модель Пуанкаре и непосредственно, исходя из преобразования инверсии.