3. Точки минимакса и топология.

Существует глубокая связь между общей теорией стационарных точек и топологическими идеями. По этому поводу мы можем здесь дать только краткое указание и ограничимся рассмотрением одного примера.

Рассмотрим горный ландшафт на кольцеобразном острове В с двумя береговыми контурами С и если обозначим, как раньше, высоту

Рис. 194. Стационарные точки в двусвязной области

над уровнем моря через причем допустим, что на контурах и внутри, то на острове должен существовать по меньшей мере один горный перевал: на рис. 194 такой перевал находится в точке, где пересекаются две линии уровня. Справедливость высказанного утверждения становится наглядной, если мы поставим своей задачей найти такой путь, соединяющий который не поднимался бы на большую высоту, чем это неизбежно. Каждый путь от С к С имеет наивысшую точку, и если мы выберем такой путь, для которого наивысшая точка оказывается самой низкой, то полученная таким образом наивысшая точка и будет седловой точкой функции (Следует оговорить представляющий исключение тривиальный случай, когда некоторая горизонтальная плоскость касается кольцеобразного горного хребта по замкнутой кривой.) В случае области, ограниченной замкнутыми кривыми, вообще говоря, должно существовать не менее чем точек минимакса. Подобного же рода соотношения, как установил Марстон Морз, имеют место и для многомерных областей, но разнообразие топологических возможностей и типов стационарных точек в этом случае значительно большее. Эти соотношения образуют основу современной теории стационарных точек.