2. Одна теорема о кубических уравнениях.

Заключительная часть только что приведенного алгебраического рассуждения была приспособлена к специальному уравнению, которым мы занимались. Но если мы хотим исследовать две другие проблемы древности, то желательно основываться на некоторой теореме общего характера. С алгебраической точки зрения все три проблемы связаны с решением кубического уравнения. Отлично известно, что если три корня кубического уравнения

то они связаны между собой соотношением

Рассмотрим кубическое уравнение (4), в котором коэффициенты с пусть будут рациональными числами. Может, конечно, случиться, что один из корней уравнения есть рациональное число: например, уравнение имеет один корень 1 — рациональный, тогда как два других, удовлетворяющих квадратному уравнению мнимые. Но мы сейчас докажем такую общую теорему: если кубическое

уравнение с рациональными коэффициентами не имеет рациональных корней, то ни один из его корней не может быть построен с помощью циркуля и линейки, исходя из рационального поля

Доказательство будем вести, как раньше, косвенным методом. Допустим, что число являющееся корнем уравнения (4), допускает построение. Тогда должно принадлежать некоторому полю последнему в цепи постепенно расширяемых полей

Мы, как раньше, имеем право допустить, что никакой корень уравнения (4) не принадлежит полю (Что к не есть нуль, следует как раз из условия теоремы: не может быть рациональным числом.) Итак, может быть записано в виде

причем принадлежат полю но не принадлежит Такое же самое рассуждение, какое было проведено в предыдущем пункте, приводит к заключению, что число

также принадлежащее является корнем уравнения (4). Мы видим, как раньше, что значит,

Из равенства (5) мы теперь заключаем, что третий корень уравнения (4) дается формулой . Но так как то, значит,

Радикал здесь исчез, так что оказывается, что и принадлежит полю Это противоречит сделанному допущению, согласно которому к есть наименьшее целое число, такое, что некоторое поле содержит корень уравнения (4). Придется отвергнуть сделанное допущение, раз оно привело к противоречию, и признать, что ни один из корней уравнения (4) не принадлежит никакому полю Теорема доказана. На основании этой теоремы можно утверждать, что некоторое число не может быть построено с помощью только циркуля и линейки, как только установлено, что это число является корнем кубического уравнения с рациональными коэффициентами, не имеющего рациональных корней. Теперь мы можем перейти к рассмотрению двух других проблем древности; заметим, что каждая из них облекается в алгебраическую форму не столь непосредственно, как уже рассмотренная.