4. Правильный семиугольник.
Перейдем теперь к проблеме построения стороны х правильного семиугольника, вписанного в единичный круг. Проще всего справиться с этой проблемой, если прибегнуть к комплексным числам (см. главу II, § 5). Мы знаем, что вершины правильного семиугольника служат корнями уравнения
причем координаты х, у каждой вершины являются действительной и мнимой частями комплексного числа
Один из корней
есть
а остальные удовлетворяют уравнению
(см. стр. 135). Деля на
получаем новое уравнение
Простые алгебраические преобразования приводят его к виду
Положив теперь
мы приходим окончательно к уравнению третьей степени
Мы знаем, что z, корень седьмой степени из единицы, дается формулой
где
есть угол, под которым из центра круга видна сторона семиугольника; кроме того, из упражнения 2 на стр. 133 следует, что
так что
Если мы сумеем построить у, то сумеем построить и
и обратно. Итак, раз будет установлено, что величина у не может быть построена, то тем самым будет установлено, что не могут быть построены ни величина
ни величина
следовательно, невозможно будет построение семиугольника.
Таким образом, в силу теоремы пункта 2, остается показать, что Уравнение (13) не имеет рациональных корней. Это тоже доказывается косвенным методом. Допустим, что уравнение (13) имеет рациональный корень
, где
целые числа без общих множителей. В таком случае должно удовлетворяться равенство
отсюда ясно, что
делится на
на
Так как
взаимно простые числа, то отсюда следует, что каждое из них равно ±1. Значит,
и у, если только это число рациональное, должно равняться или +1, или —1. Но подстановка в уравнение (13) показывает, что ни +1, ни —1 не являются корнями уравнения. Итак, нельзя построить величины у, а следовательно, и стороны семиугольника.