4. Правильный семиугольник.

Перейдем теперь к проблеме построения стороны х правильного семиугольника, вписанного в единичный круг. Проще всего справиться с этой проблемой, если прибегнуть к комплексным числам (см. главу II, § 5). Мы знаем, что вершины правильного семиугольника служат корнями уравнения

причем координаты х, у каждой вершины являются действительной и мнимой частями комплексного числа Один из корней

есть а остальные удовлетворяют уравнению

(см. стр. 135). Деля на получаем новое уравнение

Простые алгебраические преобразования приводят его к виду

Положив теперь

мы приходим окончательно к уравнению третьей степени

Мы знаем, что z, корень седьмой степени из единицы, дается формулой

где есть угол, под которым из центра круга видна сторона семиугольника; кроме того, из упражнения 2 на стр. 133 следует, что так что

Если мы сумеем построить у, то сумеем построить и и обратно. Итак, раз будет установлено, что величина у не может быть построена, то тем самым будет установлено, что не могут быть построены ни величина ни величина следовательно, невозможно будет построение семиугольника.

Таким образом, в силу теоремы пункта 2, остается показать, что Уравнение (13) не имеет рациональных корней. Это тоже доказывается косвенным методом. Допустим, что уравнение (13) имеет рациональный корень , где целые числа без общих множителей. В таком случае должно удовлетворяться равенство

отсюда ясно, что делится на на Так как взаимно простые числа, то отсюда следует, что каждое из них равно ±1. Значит,

и у, если только это число рациональное, должно равняться или +1, или —1. Но подстановка в уравнение (13) показывает, что ни +1, ни —1 не являются корнями уравнения. Итак, нельзя построить величины у, а следовательно, и стороны семиугольника.