Главная > Что такое математика?
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Функции и преобразования.

Соответствие между точками некоторой прямой I, характеризуемыми координатой х на этой прямой, и точками некоторой другой прямой V, характеризуемыми координатой х, есть не что иное, как некоторая функция . В случае взаимно однозначного соответствия имеем также и обратную

функцию Простейшим примером является проективное преобразование, которое задается в самом общем случае дробной линейной функцией вида

где постоянные (мы это утверждаем здесь без доказательства).

В этом примере обратная функция имеет вид а

В случае, если устанавливается отображение плоскости с координатной системой х, у на другую плоскость с координатной системой х, у, соотношение между точками не может быть задано одной функцией здесь приходится иметь дело с двумя функциями двух переменных

Например, проективное преобразование задается системой функций

где — постоянные, а как сказано, — соответственные координаты в двух плоскостях. Теперь идея обратного отображения снова приобретает смысл. Мы просто должны решить данную систему уравнений относительно х и у, выразив их через х и у. Геометрически это сводится к осуществлению обратного отображения плоскости на плоскость Это отображение будет однозначно определено, если соответствие между точками обеих плоскостей взаимно однозначное.

Преобразования плоскости, изучаемые в топологии, задаются не простыми алгебраическими уравнениями, а произвольной системой двух функций

при условии, чтобы ими определялось взаимно однозначное и взаимно непрерывное преобразование.

Упражнения.

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление