7. Функции и преобразования.
Соответствие между точками некоторой прямой I, характеризуемыми координатой х на этой прямой, и точками некоторой другой прямой V, характеризуемыми координатой х, есть не что иное, как некоторая функция 
. В случае взаимно однозначного соответствия имеем также и обратную
функцию 
Простейшим примером является проективное преобразование, которое задается в самом общем случае дробной линейной функцией вида
где 
постоянные (мы это утверждаем здесь без доказательства).
В этом примере обратная функция имеет вид 
а
В случае, если устанавливается отображение плоскости 
с координатной системой х, у на другую плоскость 
с координатной системой х, у, соотношение между точками не может быть задано одной функцией 
здесь приходится иметь дело с двумя функциями двух переменных
Например, проективное преобразование задается системой функций
где 
— постоянные, а 
как сказано, — соответственные координаты в двух плоскостях. Теперь идея обратного отображения снова приобретает смысл. Мы просто должны решить данную систему уравнений относительно х и у, выразив их через х и у. Геометрически это сводится к осуществлению обратного отображения плоскости 
на плоскость 
Это отображение будет однозначно определено, если соответствие между точками обеих плоскостей взаимно однозначное.
Преобразования плоскости, изучаемые в топологии, задаются не простыми алгебраическими уравнениями, а произвольной системой двух функций
при условии, чтобы ими определялось взаимно однозначное и взаимно непрерывное преобразование.
Упражнения.
(см. скан)
