§ 2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи

1. Принцип.

Предыдущие задачи являются частными случаями некоторой общей проблемы, которую удобнее всего сформулировать аналитически. Возвращаясь к первой из рассмотренных задач, касающейся суммы мы видим, что она заключается в том, чтобы, обозначив через у координаты точки через координаты точки Р и через координаты точки найти экстремальные значения функции

где положено

Рассматриваемая функция непрерывна во всей плоскости, но точка с координатами х, у подчинена требованию находиться на кривой С. Эта последняя кривая, допустим, определена уравнением например, уравнением если С — единичная окружность.

Обратимся теперь к общей задаче: найти экстремальные значения некоторой данной функции если переменные х и у подчинены условию Постараемся характеризовать решение этой задачи. Для этого рассмотрим семейство кривых при этом под «семейством» кривых понимаем совокупность всех кривых, определяемых указанным уравнением при различных значениях постоянной с (но такое значение неизменно для всех точек каждой кривой в отдельности). Предположим, что через каждую точку плоскости — или по крайней мере некоторой ее части, содержащей кривую С, — проходит одна и только одна кривая семейства Тогда при непрерывном увеличении с кривая «заметает» некоторую часть плоскости, однако при этом ни одну точку не «заметает» дважды. (Примеры такого рода семейств: В частности, одна кривая рассматриваемого семейства пройдет через точку

Рис. 187. Экстремумы функции на кривой

в которой принимает наибольшее значение на кривой С, и другая — через точку в которой принимает наименьшее значение на С. Пусть наибольшее значение есть а, наименьшее — По одну сторону кривой значение меньше, чем а, по другую — больше, чем о. Так как на кривой С имеет место неравенство то кривая С должна целиком лежать по одну и ту же сторону кривой отсюда следует, что она в точке касается кривой Точно так же кривая С касается в точке кривой

Итак, доказана общая теорема: если в точке на кривой С функция имеет экстремальное значение а, то кривая в точке касается кривой С.

2. Примеры.

Легко понять, что ранее полученные результаты являются частным случаем этой общей теоремы. Если речь идет об экстремуме суммы то функция есть а кривые софокусные эллипсы с фокусами . В согласии с общей теоремой эллипсы, проходящие через те точки кривой С, где достигается экстремум одного или другого вида, касаются кривой С в этих точках. Если речь идет об экстремуме разности то функция есть и тогда кривые софокусные гиперболы с фокусами и в этом случае гиперболы, проходящие через точки, где достигается экстремум, касаются кривой С.

Вот еще пример задачи того же типа. Дан отрезок прямой и прямая I, его не пересекающая; требуется установить: из какой точки I отрезок виден под наибольшим углом?

Функция, максимум которой надлежит определить в этой задаче, есть угол в, под которым из точки, движущейся по прямой I, виден

Рис. 188. Софокусные эллипсы

Рис. 189. Софокусные гиперболы

Рис. 190. Из какой точки I отрезок виден под наибольшим углом?

отрезок если какая угодно точка плоскости с координатами х, у, то угол, под которым отрезок виден из есть функция от переменных х, у. Из элементарной геометрии известно, что семейство кривых состоит из окружностей, проходящих через так как хорда круга видна под одним и тем же углом из всех точек дуги окружности, расположенной по одну сторону хорды. Из рис. 190 видно, что, вообще говоря, имеется две окружности рассматриваемого семейства, касающиеся прямой I: их центры расположены по разные стороны отрезка Одна из точек касания дает абсолютный максимум величины 8, тогда как другая — лишь «относительный» максимум: это значит, что значения в в этой точке больше, чем значения в некоторой окрестности рассматриваемой точки. Больший из двух максимумов — абсолютный максимум, дается той точкой

касания, которая расположена в остром угле, образованном прямой и продолжением отрезка а меньший — той точкой касания, которая расположена в тупом угле, образованном этими прямыми. (Точка пересечения прямой I с продолжением отрезка дает минимальное значение угла в — именно,

Обобщая рассмотренную задачу, мы можем заменить прямую какой-нибудь кривой С и искать точки на кривой С, из которых данный отрезок не пересекающий С, виден под наибольшим или наименьшим углом. В этой задаче, как и в предыдущей, окружность, проходящая через должна в точке касаться кривой С.