Главная > Что такое математика?
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Применение к математической логике.

Проверка законов алгебры множеств основывалась на анализе логического смысла соотношения и операций и А. Мы можем теперь обратить этот процесс и рассматривать законы как базу для «алгебры логики». Скажем точнее: та часть логики, которая касается множеств,

или, что по существу то же, свойств рассматриваемых объектов, может быть сведена к формальной алгебраической системе, основанной на законах Логическая «условная вселенная» определяет множество Г, каждое свойство 21 определяет множество А, состоящее из тех объектов в I, которые обладают этим свойством. Правила перевода обычной логической терминологии на язык множеств ясны из следующих примеров:

В терминах алгебры множеств силлогизм «Barbara», обозначающий, что «если всякое А есть В и всякое В есть С, то всякое А есть С», принимает простой вид:

Аналогично «закон противоречия», утверждающий, что «объект не может одновременно обладать и не обладать некоторым свойством», записывается в виде:

и «закон исключенного третьего», говорящий, что «объект должен или обладать, или не обладать некоторым свойством», записывается:

Таким образом, та часть логики, которая выразима в терминах символов может трактоваться как формальная алгебраическая система, подчиненная законам На основе слияния логического анализа математики и математического анализа логики создалась новая дисциплина — математическая логика, которая в настоящее время находится в процессе бурного развития.

С аксиоматической точки зрения заслуживает внимания тот замечательный факт, что утверждения вместе со всеми прочими

теоремами алгебры множеств, могут быть логически выведены из следующих трех равенств:

Отсюда следует, что алгебра множеств может быть построена как чисто дедуктивная теория, вроде евклидовой геометрии, на базе этих трех положений, принимаемых в качестве аксиом. Если эти аксиомы приняты, то операция и отношение определяются в терминах

Совершенно иного рода пример математической системы, в которой выполняются все формальные законы алгебры множеств, дается системой восьми чисел 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: здесь а обозначает, по определению, общее наименьшее кратное а и общий наибольший делитель а и утверждение делится на а» и а — число Существование таких примеров повлекло за собой изучение общих алгебраических систем, удовлетворяющих законам 27). Такие системы называются «булевыми алгебрами» — в честь Джорджа Буля (1815-1864), английского математика и логика, книга которого «Ап investigation of the laws of thought» (Исследование законов мышления) появилась в 1854 г.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление