3. Число Эйлера e.
Число
заняло видное место в математике рядом с архимедовым числом
сразу после опубликования Эйлером в 1748 г. сочинения «Introductio in Analysin Infinitorum». Это число доставит нам прекрасную иллюстрацию того, как принцип монотонных последовательностей может служить для определения нового действительного числа. Пользуясь обычной сокращенной записью для произведения
первых целых чисел
рассмотрим последовательность
где
(Проверьте!) «Ошибка», т. е. разность между этим приближенным и истинным значением
может быть легко оценена. Для разности
мы имеем выражение
Это число так мало, что не может повлиять на девятую цифру, и потому, допуская возможную ошибку в последней цифре вышеприведенного значения, мы получаем для
следующее приближенное равенство с восемью верными цифрами:
Число е иррационально. Чтобы это доказать, предположим противное: допуская, что
где
целые числа, и затем, приходя к противоречию, мы должны будем заключить о нелепости сделанного предположения. Поскольку мы знаем, что
не может быть целым числом, а потому
по меньшей мере должно быть равно 2. Умножим обе части тождества (6) на
получим
В левой части мы, очевидно, имеем целое число. В правой части слагаемое в квадратных скобках также есть целое число. Остаток же в правой части есть положительное число, меньшее
и значит, не есть целое число. В самом деле,
а следовательно, члены ряда
не превышают соответственно членов геометрической прогрессии
сумма которых равна
Таким образом, формула (7) противоречива: целое число в левой части не может быть равно числу в правой части, так как это последнее, являясь суммой целого числа и положительного числа, меньшего
не есть целое число.