2. Геометрическое представление комплексных чисел.
Уже в XVI столетии в математических работах появляются квадратные корни из отрицательных чисел в формулах, дающих решения квадратных уравнений. Но в те времена математики затруднились бы объяснить точный смысл этих выражений, к которым относились почти с суеверным трепетом. Сам термин «мнимый» до сих пор напоминает нам о том, что эти выражения рассматривались как нечто искусственное, лишенное реального значения. И только в начале XIX в., когда уже выяснилась роль комплексных чисел в различных областях математики, было Дано очень простое геометрическое истолкование комплексных чисел и операций с ними, и этим был положен конец сомнениям в возможности их законного употребления. Конечно, с современной точки зрения
формальные операции с комплексными числами полностью оправдываются на основе формальных определений, так что геометрическое представление логически не является необходимым. Но такое представление, предложенное почти одновременно Бесселем (1745-1818), Арганом (1768-1822) и Гауссом, позволило рассматривать комплексные числа и действия с ними как нечто вполне естественное с интуитивной точки зрения и, кроме того, имеющее чрезвычайно большое значение в приложениях комплексных чисел как в самой математике, так и в математической физике.
Рис. 22. Геометрическое представление комплексных чисел. Точка 
имеет прямоугольные координаты х, у
Геометрическая интерпретация комплексных чисел заключается в том, что комплексному числу 
сопоставляется точка на плоскости с координатами х, у. Именно действительная часть числа мыслится как х-координата, а мнимая — как у-координата. Таким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками «числовой плоскости», подобно тому как нами было установлено раньше (см. § 2), соответствие между действительными числами и точками «числовой оси». Точкам на оси х в числовой плоскости соответствуют действительные числа 
тогда как точкам на оси у — чисто мнимые числа 
Если
есть какое-то комплексное число, то мы называем число
сопряженным с числом z. В числовой плоскости точка 
получается из точки z посредством зеркального отражения относительно оси х. Если мы условимся расстояние точки z от начала обозначать через 
то на основании теоремы Пифагора
Действительное число 
называется модулем z и обозначается
Если z лежит на действительной оси, то модуль совпадает с абсолютным значением z. Комплексные числа с модулем 1 изображаются точками, лежащими на «единичном окружности» с центром в начале и радиусом 1.
Если 
то 
Это следует из определения 
как расстояния точки z от начала. Далее, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей
Это вытекает как следствие из более общей теоремы, которая будет доказана на стр. 131.
Упражнения.
(см. скан)
Упражнение. В каких случаях имеет место равенство 
Угол между положительным направлением оси х и отрезком 
называется аргументом z и обозначается буквой 
(см. рис. 22). Числа 
имеют один и тот же модуль
но их аргументы противоположны по знаку:
Конечно, аргумент z определяется не однозначно, так как к нему можно прибавлять или из него вычитать любой угол, кратный 360°, не изменяя направления отрезка 
Итак, углы
графически дают один и тот же аргумент. Так как, согласно определениям синуса и косинуса,
то любое комплексное число z выражается через его модуль и аргумент следующим образом:
Например,
так что
Читатель может проверить эти утверждения посредством подстановки числовых значений тригонометрических функций.
Тригонометрическим представлением (8) очень полезно воспользоваться, чтобы уяснить себе геометрический смысл умножения двух комплексных чисел. Если
и
то
Но, в силу основных теорем сложения синуса и косинуса,
Итак,
Рис. 24. Умножение комплексных чисел: аргументы складываются, модули перемножаются
В правой части последнего равенства мы видим написанное в тригонометрической форме комплексное число с модулем 
и аргументом 
Значит, мы можем отсюда заключить, что при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (рис. 24). Таким образом, мы видим, что умножение комплексных чисел как-то связано с вращением.
Установим точнее, в чем тут дело.
Назовем направленный отрезок, идущий из начала в точку z, вектором точки 
тогда модуль 
есть его длина.
Пусть 
какая-нибудь точка единичной окружности, так что 
таком случае умножение z на z просто поворачивает вектор z на угол 
Если же 
помимо вращения, длина вектора должна быть умножена на 
Рекомендуем читателю самостоятельно проиллюстрировать эти факты, умножая различные комплексные числа на 
(вращение
на 
же вращение на 90°, но в обратном направлении); 
.
Формула (9) в особенности представляет интерес, если 
этом случае имеем:
Умножая снова на z, будем иметь
и, вообще, для любого 
повторяя операцию, получим
В частности, если точка z находится на единичной окружности, так что 
мы приходим к формуле, открытой французским математиком 
Муавром (1667-1754):
Эта формула — одно из самых замечательных и полезных соотношений в элементарной математике. Поясним это примером. Возьмем 
и разложим левую часть по формуле бинома
Тогда получим:
Одно такое комплексное равенство равносильно двум равенствам, связывающим действительные числа. В самом деле, если два комплексных числа равны, то в отдельности равны их действительные части и их мнимые части. Итак, можно написать
Пользуясь затем соотношением
получим окончательно:
Подобного рода формулы, выражающие 
и 
соответственно через 
легко получить при каком угодно целом значении 
