Главная > Что такое математика?
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Геометрическое представление комплексных чисел.

Уже в XVI столетии в математических работах появляются квадратные корни из отрицательных чисел в формулах, дающих решения квадратных уравнений. Но в те времена математики затруднились бы объяснить точный смысл этих выражений, к которым относились почти с суеверным трепетом. Сам термин «мнимый» до сих пор напоминает нам о том, что эти выражения рассматривались как нечто искусственное, лишенное реального значения. И только в начале XIX в., когда уже выяснилась роль комплексных чисел в различных областях математики, было Дано очень простое геометрическое истолкование комплексных чисел и операций с ними, и этим был положен конец сомнениям в возможности их законного употребления. Конечно, с современной точки зрения

формальные операции с комплексными числами полностью оправдываются на основе формальных определений, так что геометрическое представление логически не является необходимым. Но такое представление, предложенное почти одновременно Бесселем (1745-1818), Арганом (1768-1822) и Гауссом, позволило рассматривать комплексные числа и действия с ними как нечто вполне естественное с интуитивной точки зрения и, кроме того, имеющее чрезвычайно большое значение в приложениях комплексных чисел как в самой математике, так и в математической физике.

Рис. 22. Геометрическое представление комплексных чисел. Точка имеет прямоугольные координаты х, у

Геометрическая интерпретация комплексных чисел заключается в том, что комплексному числу сопоставляется точка на плоскости с координатами х, у. Именно действительная часть числа мыслится как х-координата, а мнимая — как у-координата. Таким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками «числовой плоскости», подобно тому как нами было установлено раньше (см. § 2), соответствие между действительными числами и точками «числовой оси». Точкам на оси х в числовой плоскости соответствуют действительные числа тогда как точкам на оси у — чисто мнимые числа Если

есть какое-то комплексное число, то мы называем число

сопряженным с числом z. В числовой плоскости точка получается из точки z посредством зеркального отражения относительно оси х. Если мы условимся расстояние точки z от начала обозначать через то на основании теоремы Пифагора

Действительное число называется модулем z и обозначается

Если z лежит на действительной оси, то модуль совпадает с абсолютным значением z. Комплексные числа с модулем 1 изображаются точками, лежащими на «единичном окружности» с центром в начале и радиусом 1.

Если то Это следует из определения как расстояния точки z от начала. Далее, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей

Это вытекает как следствие из более общей теоремы, которая будет доказана на стр. 131.

Упражнения.

(см. скан)

Упражнение. В каких случаях имеет место равенство

Угол между положительным направлением оси х и отрезком называется аргументом z и обозначается буквой (см. рис. 22). Числа имеют один и тот же модуль

но их аргументы противоположны по знаку:

Конечно, аргумент z определяется не однозначно, так как к нему можно прибавлять или из него вычитать любой угол, кратный 360°, не изменяя направления отрезка Итак, углы

графически дают один и тот же аргумент. Так как, согласно определениям синуса и косинуса,

то любое комплексное число z выражается через его модуль и аргумент следующим образом:

Например,

так что

Читатель может проверить эти утверждения посредством подстановки числовых значений тригонометрических функций.

Тригонометрическим представлением (8) очень полезно воспользоваться, чтобы уяснить себе геометрический смысл умножения двух комплексных чисел. Если

и

то

Но, в силу основных теорем сложения синуса и косинуса,

Итак,

Рис. 24. Умножение комплексных чисел: аргументы складываются, модули перемножаются

В правой части последнего равенства мы видим написанное в тригонометрической форме комплексное число с модулем и аргументом Значит, мы можем отсюда заключить, что при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (рис. 24). Таким образом, мы видим, что умножение комплексных чисел как-то связано с вращением.

Установим точнее, в чем тут дело.

Назовем направленный отрезок, идущий из начала в точку z, вектором точки тогда модуль есть его длина.

Пусть какая-нибудь точка единичной окружности, так что таком случае умножение z на z просто поворачивает вектор z на угол Если же помимо вращения, длина вектора должна быть умножена на Рекомендуем читателю самостоятельно проиллюстрировать эти факты, умножая различные комплексные числа на (вращение

на же вращение на 90°, но в обратном направлении); .

Формула (9) в особенности представляет интерес, если этом случае имеем:

Умножая снова на z, будем иметь

и, вообще, для любого повторяя операцию, получим

В частности, если точка z находится на единичной окружности, так что мы приходим к формуле, открытой французским математиком Муавром (1667-1754):

Эта формула — одно из самых замечательных и полезных соотношений в элементарной математике. Поясним это примером. Возьмем и разложим левую часть по формуле бинома

Тогда получим:

Одно такое комплексное равенство равносильно двум равенствам, связывающим действительные числа. В самом деле, если два комплексных числа равны, то в отдельности равны их действительные части и их мнимые части. Итак, можно написать

Пользуясь затем соотношением

получим окончательно:

Подобного рода формулы, выражающие и соответственно через легко получить при каком угодно целом значении

Упражнения.

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление