5. Непрерывные дроби.

Интересные бесконечные процессы возникают в связи с непрерывными дробями. Конечная непрерывная дробь, такая, как

представляет собой некоторое рациональное число. На стр. 79 мы показали, что каждое рациональное число может быть выражено в такой

форме с помощью алгоритма Евклида. Однако в случае иррациональных чисел алгоритм не заканчивается после конечного числа операций. Напротив, он ведет к последовательности все более «длинных» дробей, из которых каждая представляет собой рациональное число. В частности, все действительные алгебраические числа (см. стр. 139) степени 2 могут быть выражены таким образом. Рассмотрим, например, число являющееся корнем квадратного уравнения

Если в правой части заменить х снова дробью то это дает выражение

а затем

и т. д., так что после «шагов» получим равенство

Если стремится к бесконечности, мы получим «бесконечную непрерывную дробь»

Эта замечательная формула связывает число с целыми числами гораздо более удивительным образом, чем это делает десятичное разложение которое не обнаруживает никакой правильности в чередовании десятичных знаков.

Для положительного корня любого квадратного уравнения вида

мы получаем разложение

Например, полагая мы находим

Эти примеры являются частными случаями общей теоремы, утверждающей, что действительные корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами разлагаются в периодическую непрерывную дробь, подобно тому как рациональные числа разлагаются в периодические десятичные дроби.

Эйлер сумел найти почти столь же простые разложения в непрерывные дроби для чисел Приведем их без доказательств: