4. Теорема о последовательностях. Компактные множества.

Пусть есть некоторая бесконечная

последовательность чисел, различных или нет, содержащихся в отрезке Последовательность может стремиться или не стремиться к пределу. Но как бы то ни было, всегда можно извлечь из такой последовательности, выбрасывая некоторые из ее членов, такую новую бесконечную последовательность которая стремилась бы к пределу, заключенному в промежутке

Чтобы доказать эту теорему, разделим интервал I с помощью средней точки на два замкнутых отрезка :

По крайней мере в одном из них будет находиться бесчисленное количество членов основной последовательности: обозначим его через Выберем один из этих членов и обозначим его через Проделаем то же самое с промежутком Так как в интервале имеется бесконечное множество членов то их должно быть бесконечное множество также и по крайней мере в одной из половин обозначим эту половину через На отрезке возьмем член для которого и обозначим его через Продолжая таким же образом, мы можем найти последовательность вложенных отрезков и подпоследовательность членов основной последовательности таким образом, что лежит в интервале каково бы ни было Эта последовательность интервалов стягивается к некоторой точке у промежутка, и ясно, что последовательность имеет предел у, что и требовалось доказать.

Эти рассуждения допускают обобщение того типа, который характерен для современной математики. Рассмотрим переменное X, пробегающее некоторое множество в котором каким-то образом определено понятие «расстояния». S может быть множеством точек на плоскости или в пространстве. Но это не является необходимым; например, S может быть также множеством всех треугольников на плоскости. Если являются двумя треугольниками с вершинами соответственно, то в качестве «расстояния» между треугольниками можно взять, например, число

где обозначает обычное расстояние между точками и т. д. Как только во множестве введено понятие «расстояния», мы имеем возможность определить понятие последовательности элементов стремящейся к пределу X — также элементу множества Мы подразумеваем под

этим, что при Теперь мы скажем, что множество компактно, если из каждой последовательности элементов этого множества можно извлечь подпоследовательность, стремящуюся к некоторому пределу X, принадлежащему множеству В предыдущем пункте мы показали, что замкнутый промежуток компактен в указанном смысле. Таким образом понятие компактного множества можно считать обобщением понятия замкнутого интервала на числовой оси. Отметим, что числовая ось в целом некомпактна, поскольку последовательность целых чисел не стремится ни к какому пределу и не содержит в себе никакой подпоследовательности, которая бы стремилась к пределу. Также и открытый интервал некомпактен, например, не включающий конечных точек; действительно, последовательность или любая ее подпоследовательность стремится к пределу 0, который не принадлежит, однако, рассматриваемому открытому промежутку. Таким же образом можно показать, что область плоскости, состоящая, скажем, из внутренних точек некоторого квадрата или прямоугольника, некомпактна; но она становится компактной после присоединения точек границы. Нетрудно также убедиться, что множество всех треугольников с вершинами, лежащими внутри или на окружности данного круга, компактно.

Понятие непрерывности допускает обобщение на случай, когда переменное X пробегает любое множество лишь бы в этом последнем было предварительно введено понятие стремления к пределу. Говорят, что функция (где и мыслится как действительное число) непрерывна на элементе X, если всякий раз, как последовательность элементов имеет предел X, соответствующая последовательность чисел имеет предел (Можно дать определение и с помощью Легко также убедиться, что теорема Вейерштрасса остается в силе для случая обобщенной непрерывной функции заданной на некотором компактном множестве:

Если есть непрерывная функция, определенная для всех элементов компактного множества то существует обязательно такой элемент для которого достигает своего наибольшего значения, и другой элемент, для которого достигает своего наименьшего значения.

Доказательство не представит никакого труда для того, кто схватил общий характер относящихся сюда идей; мы не пойдем дальше в этом же направлении. Мы увидим в главе VIII, что теорема Вейерштрасса в ее общей формулировке имеет особенно большое значение в теории максимумов и минимумов.