§ 5. Построения с помощью иных инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля

1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба.

Мы рассматривали до сих пор только проблемы геометрических построений без использования иных инструментов, кроме циркуля и линейки. Если допускаются и другие инструменты, то, разумеется, разнообразие возможных построений сильно увеличивается. Следующий пример может служить образцом того, как греки решали проблему удвоения куба. Рассмотрим (рис. 46) жесткий прямой угол и подвижной прямоугольный крест Двум дополнительным стержням и предоставлена возможность скользить, оставаясь перпендикулярными к сторонам прямого угла. На кресте пусть выбраны фиксированные точки причем расстояния заданы. Располагая крест таким образом, чтобы точки соответственно лежали на и и перемещая стержни и можно

Рис. 46. Инструмент, служащий для удвоения куба

весь аппарат привести в такое положение, чтобы лучевые перекладины креста проходили через вершины прямоугольника Указанное на чертеже расположение всегда возможно при условии Мы видим сразу, что а откуда, в частности, если положено получается Значит, х есть ребро куба, объем которого вдвое больше, чем объем куба с ребром а. Таким образом поставленная задача решена.

Рис. 47. Нахождение середины дуги без линейки