2. Эйлерова характеристика поверхности.
Предположим, что замкнутая поверхность S рода 
подразделена на некоторое число областей: такое подразделение получается, если мы отметим на S ряд «вершин» и соединим их затем между собой дугами кривых. Мы покажем, что в таком случае
где V — число вершин, Е — число дуг и 
число областей. Число 
называется эйлеровой характеристикой поверхности. Как мы уже видели, для случая сферы 
что согласуется с формулой (1), так как сфера имеет род 
равный нулю.
Рис. 138. К эйлеровой характеристике поверхностей
Желая доказать общую формулу (1), вообразим, что S есть сфера с 
рукоятками. Как мы отметили, любая поверхность рода 
может быть непрерывной деформацией приведена к этому виду, и во время деформации ни 
ни 
не изменяются. Непрерывную
деформацию мы выберем таким образом, чтобы замкнутые кривые 
по которым рукоятки соединяются со сферой, пришлись как раз на дуги данного подразделения. (Рис. 138 иллюстрирует описываемую дальше процедуру в случае 
Прорежем теперь поверхность S по кривым 
и выпрямим рукоятки. У каждой рукоятки появится свободный край, ограниченный новой кривой 
причем на появившемся крае будет столько же вершин и столько же дуг, сколько их было соответственно на 
Число 
при прорезывании не изменится, так как новых областей не возникнет, а число вновь возникших вершин уравновешивается числом вновь возникших дуг. Затем деформируем поверхность дальше, сплющивая торчащие рукоятки (включая их в поверхность сферы). В итоге получается сфера с 
отверстиями. Так как 
как нам известно, равно 2 для всякого подразделения полной сферы, то для нашей сферы с 
отверстиями мы получаем 
и это равенство, очевидно, справедливо также и для первоначальной сферы с 
рукоятками. Наше утверждение доказано.
Рис. 121 иллюстрирует применение формулы (1) к поверхности 
составленной из плоских многоугольников. Эту поверхность можно топологически деформировать в поверхность тора, так что ее род 
равен 1, и потому 
Как и требуется по формуле (1), мы получаем
Упражнение. Произвести какое-нибудь подразделение на поверхности с двумя дырами, изображенной на рис. 137, и проверить, что 
