§ 3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения

1. Бесконечные ряды функций.

Мы не раз уже имели случай указать, что, выражая величину в виде «суммы бесконечного ряда»

мы не утверждаем ничего иного, кроме того, что есть предел при возрастающем последовательности конечных «частных сумм»

где

Таким образом, равенство (1) равносильно предельному соотношению

где определено с помощью (2). Если предел (3) существует, то мы говорим, что ряд (1) сходится к значению напротив, если предел (3) не существует, то мы говорим, что этот ряд расходится.

Например, ряд

сходится к значению а ряд

сходится к значению но, напротив, ряд

расходится, так как частные суммы здесь равны поочередно то 1, то 0; а ряд

расходится по той причине, что частные суммы стремятся к бесконечности.

Нам приходилось уже встречаться с рядами, у которых общий член есть функция переменной х, имеющая вид

причем не зависит от х. Такие ряды называются степенными, для них частными суммами являются многочлены

прибавление постоянного члена со потребует лишь несущественного изменения обозначений в формуле (2).

Разложение функции в степенной ряд

есть, таким образом, один из способов представить функцию приближенно с помощью простейших функций — полиномов. Подводя итоги предыдущим результатам и несколько дополняя их, составим следующий список уже известных нам разложений в степенные ряды:

Сюда же мы присоединим еще два важных разложения

Доказательство этих разложений может быть построено как простое следствие из соотношений (см. стр. 499)

Мы отправляемся от следующего очевидного неравенства:

Интегрируя от 0 до где есть некоторое фиксированное положительное число, мы находим по формуле (13), стр. 468:

интегрируя это еще раз, получим

что равносильно

Проинтегрировав последнее неравенство, найдем

Продолжая таким же способом до бесконечности, мы получаем две серии неравенств:

Установим теперь, что при неограниченном возрастании и имеет место соотношение

Для того чтобы это доказать, выберем некоторое фиксированное число такое, что и введем обозначение Любое целое представим в виде суммы тогда

так как из того, что следует, что то с Отсюда и вытекает, что справедливы тождества

Поскольку члены этих рядов, меняя поочередно знаки, убывают по величине (по крайней мере, при , то ошибки, совершаемые при обрывании каждого из рядов на некотором члене, не превышают по абсолютной величине первого из отброшенных членов.

Эти ряды можно использовать при составлении таблиц.

Пример. Чему равен равен в радианном измерении числу следовательно,

Если ограничиться выписанными двумя членами, то совершаемая при этом ошибка не будет превышать числа которое меньше, чем Итак, и 0,017 452 4064, с 10 десятичными знаками. Наконец, упомянем без доказательства о «биномиальном ряде»

где «биномиальный коэффициент»

Если есть целое положительное число, то и в формуле (11) все коэффициенты при обращаются в нуль, так что мы просто получаем конечную формулу обыкновенной биномиальной теоремы. Одно из крупных открытий Ньютона, сделанных им в начале его деятельности, заключалось в том, что он обобщил биномиальную теорему на случай всех возможных значений показателя а как положительных, так и отрицательных, как рациональных, так и иррациональных. Если а не есть целое положительное число, то правая часть формулы (11) дает бесконечный ряд, сходящийся к значению, равному левой части,

при Если же то ряд (11) расходится, и знак равенства теряет всякий смысл.

В частности, подставляя в формулу (11) значение мы найдем разложение

Подобно другим математикам XVIII в., Ньютон не дал настоящего доказательства своей формулы. Удовлетворительный анализ сходимости и пределы, в которых разложение оказывается справедливым, не были установлены для подобных рядов вплоть до XIX в.

Упражнение. Написать степенные ряды, в которые разлагаются функции

Разложения (4)-(11) являются частными случаями общей формулы Брука Тейлора (1685-1731), дающей разложение функции в степенной ряд вида

Подмечая закон, выражающий коэффициенты этого ряда с помощью функции и ее производных, можно утверждать справедливость этого разложения для очень обширного класса функций.

Здесь невозможно привести строгое доказательство формулы Тейлора; невозможно также точно сформулировать условия, при которых она справедлива. Но следующие общедоступные соображения прольют некоторый свет на относящиеся сюда взаимоотношения и существенные факты.

Допустим предварительно, что разложение (13) возможно. Далее предположим, что функция дифференцируема, что ее производная дифференцируема, и так далее, так что существует бесконечная последовательность производных

Наконец будем дифференцировать бесконечный степенной ряд почленно точно так, как если бы это был конечный многочлен, не озабочиваясь вопросом о законности такой процедуры. После всех этих допущений можно определить коэффициенты зная поведение функции

в окрестности точки Прежде всего, подставляя в формулу мы находим

так как все члены ряда, содержащие переменное х, исчезают. Дифференцируя тождество (13), мы получаем

снова подставляя значение но на этот раз в формулу (13), мы находим

Дифференцируя (13), мы получаем

подставляя затем в полученную формулу мы видим, что

Аналогично, продифференцировав и затем подставив получаем

и, продолжая дальше таким же образом, мы найдем общую формулу для коэффициента

где представляет собой значение производной от функции при В результате получим ряд Тейлора

Пусть читатель в качестве упражнения проверит, что в примерах (4)-(11) коэффициенты степенных рядов составлены как раз по этому закону.