7. Геометрический смысл второй производной.
Вторая производная 
имеет также важное значение в анализе и в геометрии; в самом деле, представляя собой скорость изменения наклона 
кривой 
вторая производная дает указание на то, как изогнута кривая. Если в некотором промежутке вторая производная больше нуля, то скорость изменения наклона 
положительна. Положительный знак скорости изменения некоторой функции указывает на то, что эта функция возрастает с возрастанием аргумента 
Следовательно, неравенство 
указывает на то, что наклон 
есть возрастающая функция 
и, значит, при увеличении 
кривая становится более крутой там, где наклон ее положителен, и более пологой там, где наклон отрицателен. Условимся говорить, что в этом случае кривая вогнута (рис. 270). Аналогично, если 
то будем говорить, что кривая 
выпукла (рис. 271).
Парабола 
всюду вогнута, так как ее вторая производная 
всегда положительна. Кривая 
вогнута при 
и выпукла при 
(рис. 153); это видно по ее второй производной 
в чем читатель может легко убедиться сам. Между прочим, при 
имеем 
(но нет ни минимума, ни максимума!), а также и 
при 
Эта точка называется точкой перегиба. В точках, которые так называются, касательная (в данном случае ось 
) пересекает кривую.
Если буква 
обозначает длину дуги кривой, а буква а — угол наклона, то функция 
есть функция переменного 
При передвижении точки по кривой функция 
будет меняться. Скорость этого изменения 
принято называть кривизной кривой в точке, для которой длина дуги равна 
Без доказательства отметим, что кривизна к может быть выражена с помощью первой и второй производных от функции 
определяющей кривую, согласно следующей
