Главная > Что такое математика?
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Геометрический смысл второй производной.

Вторая производная имеет также важное значение в анализе и в геометрии; в самом деле, представляя собой скорость изменения наклона кривой вторая производная дает указание на то, как изогнута кривая. Если в некотором промежутке вторая производная больше нуля, то скорость изменения наклона положительна. Положительный знак скорости изменения некоторой функции указывает на то, что эта функция возрастает с возрастанием аргумента Следовательно, неравенство указывает на то, что наклон есть возрастающая функция и, значит, при увеличении кривая становится более крутой там, где наклон ее положителен, и более пологой там, где наклон отрицателен. Условимся говорить, что в этом случае кривая вогнута (рис. 270). Аналогично, если то будем говорить, что кривая выпукла (рис. 271).

Парабола всюду вогнута, так как ее вторая производная всегда положительна. Кривая вогнута при и выпукла при (рис. 153); это видно по ее второй производной в чем читатель может легко убедиться сам. Между прочим, при имеем (но нет ни минимума, ни максимума!), а также и при Эта точка называется точкой перегиба. В точках, которые так называются, касательная (в данном случае ось ) пересекает кривую.

Если буква обозначает длину дуги кривой, а буква а — угол наклона, то функция есть функция переменного При передвижении точки по кривой функция будет меняться. Скорость этого изменения принято называть кривизной кривой в точке, для которой длина дуги равна Без доказательства отметим, что кривизна к может быть выражена с помощью первой и второй производных от функции определяющей кривую, согласно следующей

формуле:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление