Техника интегрирования

Теорема, доказанная на стр. 496, сводит проблему интегрирования функции в пределах от а до к нахождению функции первообразной по отношению к функции Интеграл тогда просто равен разности

Для таких первообразных функций (определяемых с точностью до постоянного слагаемого) употребительно наименование «неопределенный интеграл» и чрезвычайно удобное обозначение

без обозначения пределов интегрирования. (Это обозначение может несколько дезориентировать начинающего: см. замечания на стр. 496.)

Из каждой формулы дифференцирования легко получить, путем ее обращения, некоторую формулу неопределенного интегрирования. К этой, несколько эмпирической, процедуре мы здесь добавим два важных правила, которые по существу представляют собой не что иное, как обращение правил дифференцирования сложной функции и произведения двух функций. В их интегральной форме их называют правилами

интегрирования посредством подстановки и интегрирования «по частям».

А) Первое правило вытекает из формулы дифференцирования сложной функции

где функции

предполагаются взаимно однозначно связанными в рассматриваемой области.

В таком случае мы имеем

Полагая

мы можем написать

и также

а это вследствие предыдущей формулы для равносильно

Итак, принимая во внимание, что мы получаем

Будучи записано в обозначениях Лейбница (см. стр. 490), это правило принимает практически очень удобный вид

оказывается, что мы не сделаем ошибки, если символ заменим символом так, как будто бы были числами, их отношением.

Проиллюстрируем полезность формулы (I) несколькими примерами

a) . Станем читать формулу (I) справа налево, полагая в ней Тогда получим так что

или

Результат можно проверить посредством дифференцирования; мы получаем

b) . Полагая мы имеем

откуда следует

или

И этот результат проверяется дифференцированием.

c) Допустим, что задан интеграл более общего вида

положив мы найдем

d) . Полагаем Тогда

e) Полагаем Тогда

В следующих примерах мы используем формулу (I), считая ее слева направо.

f) Полагаем Тогда Поэтому

g) С помощью подстановки где а — постоянная, получаем

h) . Полагаем В таком случае

Принимая во внимание, что

приходим к формуле

Вычислите следующие интегралы и проверьте результаты посредством дифференцирования:

(Сравните с примерами

В) Правило дифференцирования произведения (стр. 484)

в интегральной форме записывается следующим образом:

или же

В этой форме оно называется правилом интегрирования по частям. Это правило бывает полезно в тех случаях, когда функция, стоящая под интегралом, имеет вид причем неопределенный интеграл от функции известен. Формула (II) сводит проблему неопределенного интегрирования функции к проблеме интегрирования функции что часто оказывается более простым.

a) . Положим так что Тогда формула (II) нам дает

b) . Положим Тогда

c) . На этот раз положим и получим

Вычислите по частям следующие интегралы:

(Указание: примените (II) дважды.)

(Указание: воспользуйтесь упражнением 130.)

Интегрируя по частям мы получаем замечательную формулу для числа в виде бесконечного произведения. Напишем функцию в виде и проинтегрируем по частям в пределах от 0 до Тогда получим

или

(так как первый член в правой части обращается в нуль при Применяя повторно последнюю формулу, найдем следующие значения интегралов (формулы различаются в зависимости от четности

Так как и, следовательно,

или

Подставляя в эти неравенства вычисленные значения интегралов, мы получаем

Остается положить тогда, убедившись, что средняя часть неравенства стремится к 1, мы получаем следующее, принадлежащее Уоллису, представление для числа