§ 5. Проблема Штейнера

1. Проблема и ее решение.

Очень простая и вместе с тем поучительная проблема была изучена в начале прошлого столетия знаменитым берлинским геометром Якобом Штейнером. Требуется соединить три деревни А, В, С системой дорог таким образом, чтобы их общая протяженность была минимальной. В более точной математической формулировке: на плоскости даны три точки : требуется найти такую четвертую точку Р, чтобы сумма а с (где — расстояния Р соответственно от обратилась в минимум. Решение проблемы таково: если в треугольнике все углы меньше 120°, то в качестве точки Р следует взять ту, из которой все три стороны видны под углом в если же один из углов треугольника например С, больше или равен 120°, то точку Р нужно совместить с вершиной С.

Рис. 208. Проблема Штейнера: минимум

Обосновать этот результат не представляет труда, если воспользоваться решением уже рассмотренных экстремальных задач. Предположим, что Р есть искомая точка. Возможны две альтернативы: или точка Р совпадает с одной из вершин А, В, С, или Р отлична от всех

Рис. 209. К проблеме Штейнера

трех вершин. В первом случае очевидно, что Р должна быть вершиной именно самого большого угла С в треугольнике так как сумма меньше, чем сумма каких-нибудь двух других сторон треугольника Чтобы исчерпать вопрос, остается проанализировать второй возможный случай. Пусть К — окружность с центром С и радиусом с. Тогда точка Р должна быть расположена на К таким образом, что обращается в минимум. Если обе точки вне К (как на рис. 209), то на основании § 1, отрезки и должны образовывать одинаковые углы с окружностью К и, следовательно, с радиусом который перпендикулярен к К. Так как это рассуждение можно повторить относительно окружности с центром А и радиусом а, то отсюда следует, что все углы, образованные отрезками равны между собой и, значит, каждый из них равен 120°, как и было сказано выше. Наше доказательство было построено на допущении, что обе точки находятся вне круга докажем, что иначе быть не может. Пусть хотя бы одна из точек например А, находится внутри окружности К или на ней самой. Тогда так как, с другой стороны, при любом расположении точек сумма а то а Это последнее неравенство показывает, что наименьшее возможное значение суммы а с получилось бы, если Р совпадает с А, что противоречит сделанному допущению, что Р отлично от А, В, С. Таким образом, доказано, что точки находятся вне круга К. Точно таким же образом доказывается, что точки находятся вне круга с центром А и радиусом а, а точки вне круга с центром В и радиусом