2. Арифметическая прогрессия.

Каково бы ни было значение сумма первых натуральных чисел равна .

Чтобы доказать эту теорему по принципу математической индукции, мы должны для произвольного значения установить справедливость соотношения

а) Если некоторое натуральное число и если известно, что утверждение справедливо, т. е. если известно, что

то, прибавляя к обеим частям последнего равенства по мы получаем:

а это как раз и есть утверждение

б) Утверждение очевидно, справедливо, так как Итак, по принципу математической индукции утверждение справедливо при любом что и требовалось доказать.

Обыкновенно эту теорему доказывают иным способом. Пишут сумму в двух видах:

и

Складывая, мы видим, что числа, стоящие на одной вертикали, вместе составляют и так как вертикалей всего имеется то отсюда следует, что

и остается еще разделить на 2.

Из формулы (1) сразу же вытекает общая формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии:

В самом деле,

В случае, когда последнее соотношение превращается в соотношение (1).