Главная > Что такое математика?
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Замечание по поводу двойственности.

Читатель, вероятно, уже заметил замечательное сходство теорем Паскаля (1623-1662) и Брианшона (1785-1864). Это сходство особенно бросается в глаза, если обе формулировки поставить рядом:

Не только теоремы Паскаля и Брианшона, но все вообще теоремы проективной геометрии группируются попарно таким образом, что две теоремы одной и той же пары сходны между собой и, так сказать,

идентичны по своей структуре. Это явление носит название двойственности. В геометрии плоскости точка и прямая представляют собой взаимно двойственные элементы. Провести прямую через точку и отметить точку на прямой — операции взаимно двойственные. Две фигуры взаимно двойственны, если одна может быть получена из другой посредством замены каждого элемента и каждой операции двойственным элементом и двойственной операцией. Две теоремы взаимно двойственны, если одна превращается в другую при замене каждого элемента и каждой операции двойственным элементом и двойственной операцией. Например, теоремы Паскаля и Брианшона взаимно двойственны, тогда как теоремой, двойственной теореме Дезарга, является теорема, ей обратная. Явление двойственности резко отличает проективную геометрию от элементарной (метрической), в которой никакой двойственности не наблюдается. (Например, было бы бессмысленно искать какое-нибудь «двойственное» утверждение по отношению к тому факту, что данный угол содержит 37° или что данный отрезок равен 2 линейным единицам. Принцип двойственности, согласно которому каждой верной теореме проективной геометрии сопоставляется двойственная ей, также верная теорема, во многих учебниках подчеркивается тем, что формулировки взаимно двойственных теорем, вместе со взаимно двойственными их доказательствами, приводятся, как мы это сделали выше. Внутренняя причина явления двойственности будет изучена в следующем параграфе (см. также стр. 249).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление