Главная > Что такое математика?
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Теорема Ферма.

В XVII столетии Ферма, основатель современной теории чисел, открыл чрезвычайно важную теорему. Если простое число, не делящее целого числа а, то

Другими словами, степень а при делении на дает остаток 1.

Некоторые из ранее произведенных нами вычислений подтверждают эту теорему: так, мы видим, что . Таким же образом легко проверить, что . Для этой цели нет необходимости на самом деле вычислять столь высокие степени данных чисел; достаточно использовать мультипликативное свойство сравнений:

Обращаясь к доказательству теоремы Ферма, рассмотрим числа, кратные а:

Никакие два из этих чисел не могут быть между собой сравнимы по модулю В противном случае должно было бы делить разность где была бы пара целых чисел, подчиненных ограничению Но из закона 7) следует, что этого не может случиться: так как меньше, чем то не делит с другой стороны, по предположению, не делит и а. Таким же образом мы убеждаемся, что ни одно из чисел не сравнимо с нулем. Отсюда следует, что числа соответственно сравнимы с числами взятыми в некоторой их перестановке. Дальше заключаем:

или же, полагая ради краткости

Число К не делится на так как ни один из входящих в него множителей не делится на значит, согласно закону должно делиться на т. е.

Это и есть теорема Ферма.

Проверим эту теорему еще раз. Возьмем тогда получаем по модулю Если возьмем вместо 5, то будем иметь, опять-таки по модулю . В примере, где было взято (как и во многих иных), можно заметить, что не только степень, но и более низкая степень а уже оказывается сравнимой с единицей. Наименьшая такая степень — в нашем примере степень 11 — непременно есть делитель числа (см. ниже упражнение 3).

Упражнения.

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление