Главная > Что такое математика?
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Применения к задачам о треугольниках.

С помощью теоремы Герона можно легко решить следующие две задачи.

а) Задана заранее площадь А и одна сторона треугольника; среди всех такого рода треугольников требуется найти тот, для которого сумма двух других сторон а и наименьшая. Вместо того чтобы задавать сторону с и площадь А треугольника, можно задать сторону с и высоту опущенную на с, так как Таким образом,

задача сводится к тому, чтобы найти точку R (рис. 180), находящуюся на расстоянии от прямой и притом такую, что сумма сторон а обращается в минимум. Из первого условия следует, что точка должна быть расположена на прямой, параллельной прямой и отстоящей от нее на расстоянии Раз это установлено, становится ясно, что задача решается с помощью теоремы Герона в применении к тому случаю, когда находятся на одном и том же расстоянии от прямой искомый треугольник равнобедренный.

Рис. 180. Треугольник наименьшего периметра при данных основании и площади

б) В треугольнике пусть даны: одна сторона с и сумма а двух других сторон; требуется из всех таких треугольников выбрать тот, у которого площадь наибольшая. Эта задача — обратная по отношению к задаче а). Решением является опять-таки равнобедренный треугольник, для которого Как мы уже видели, для такого треугольника при заданной площади сумма а принимает наименьшее значение; это значит, что во всяком другом треугольнике с основанием с и той же площадью сумма имеет большее значение. С другой стороны, из а) ясно, что во всяком треугольнике с основанием с и площадью, большей чем площадь рассматриваемого равнобедренного треугольника, значение а также будет больше. Отсюда следует, что всякий другой треугольник, имеющий заданные значения для а и для с, должен иметь меньшую площадь, так что наибольшую площадь при заданных имеет именно равнобедренный треугольник.

Рис. 181. Свойство касательной к эллипсу

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление