2. Монотонные последовательности.

В общем определении сходимости и предела на стр. 337 не содержится требований, так или иначе стесняющих характер приближения сходящейся последовательности к своему пределу а. Простейший тип приближения осуществляется так называемыми монотонными последовательностями, примером которых может служить следующая:

Каждый член этой последовательности больше предыдущего. Действительно:

Последовательность такого рода, в которой называется монотонно возрастающей. Аналогично, последовательность, для которой например, такая, как называется монотонно

убывающей. Последовательности этих двух типов могут приближаться к своему пределу лишь с одной стороны: «слева» или «справа». В противоположность этому существуют последовательности колеблющиеся, например, Эта последовательность приближается к своему пределу 0 «с обеих сторон» (см. рис. 11, стр. 102).

Монотонные последовательности обладают особенно простыми свойствами. Такого рода последовательность может не иметь предела и возрастать неограниченно, подобно последовательности

где или последовательности

для которой есть простое число В этом случае последовательность стремится к бесконечности. Но если члены монотонно возрастающей последовательности остаются ограниченными, т. е. если каждый член меньше некоторой верхней границы В, заранее известной, то интуитивно ясно, что последовательность должна стремиться к некоторому определенному пределу а, не превышающему числа В. Мы сформулируем это положение как принцип монотонных последовательностей: Монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху, сходится к некоторому пределу. (Аналогичное утверждение имеет место относительно монотонно убывающей последовательности, ограниченной снизу.) Замечательно то, что значение предела а не должно быть известным заранее; теорема утверждает, что при выполнении указанных условий предел существует. Конечно, эта теорема справедлива лишь при условии, что предварительно введены иррациональные числа, и в противном случае не всегда бы оправдывалась: в самом деле, в главе II мы видели, что каждое иррациональное число (например, является пределом монотонно возрастающей и ограниченной последовательности рациональных десятичных дробей, возникающих при обрывании некоторой бесконечной десятичной дроби на цифре.

Хотя принцип монотонных последовательностей интуитивно вполне очевиден и выглядит как абсолютная истина, однако не мешает, и даже весьма полезно, привести его вполне строгое доказательство в современном стиле. Чтобы это сделать, надо показать, что этот принцип есть логический вывод из определения действительного числа и определения предела.

Предположим, что числа образуют монотонно возрастающую, но ограниченную последовательность. Мы можем представить члены

этой последовательности как бесконечные десятичные дроби

где целые числа, а и т. д. — цифры от 0 до 9. Пробежим теперь вниз по столбцу целых чисел Так как последовательность ограниченна, то эти целые числа не могут возрастать бесконечно, а поскольку она монотонно возрастает, то целые числа последовательности после достижения некоторого максимального значения должны стать постоянными. Обозначим это максимальное значение символом А и предположим, что оно достигнуто в строке. Станем теперь пробегать второй столбец сосредоточивая свое внимание на членах и последующих строк. Если есть наибольшая из цифр, появившаяся в этом столбце после строки, то эта цифра будет появляться всегда после своего первого появления, которое, предположим, произошло в строке, где (Если бы цифра в этом столбце уменьшилась когда-либо впоследствии, то последовательность не была бы монотонно возрастающей.) Затем мы рассмотрим цифры третьего столбца. Рассуждение, подобное предыдущему, показывает, что, начиная с некоторого целого числа цифры третьего столбца постоянно равны некоторому числу Если мы повторим этот процесс для столбцов, то получим цифры и соответствующие целые числа Легко убедиться, что число

есть предел последовательности . В самом деле, пусть выбрано тогда для всех целая часть и первые цифр после запятой в числах и а будут совпадать между собой, так что разность не может превышать Так как это можно сделать для любого как бы мало оно ни было, с помощью выбора достаточно большого то теорема доказана.

Эту теорему можно также доказать, основываясь на любом из данных в главе II определений действительного числа, например, взяв определение с помощью вложенных интервалов или дедекиндовых сечений. Такие доказательства можно найти в любом курсе анализа.

Принцип монотонных последовательностей мог бы быть применен в главе II при определении суммы и произведения двух положительных бесконечных десятичных дробей:

Два таких выражения не могут быть ни сложены, ни перемножены обычным путем, начиная с правого конца, поскольку нет никакого правого конца. (В качестве примера читатель может попытаться сложить следующие две бесконечные десятичные дроби: Но если символ обозначает конечную десятичную дробь, полученную в результате сложения конечных десятичных дробей, возникающих при «обрывании» на цифре десятичных разложений а и b, то последовательность будет монотонно возрастающей и ограниченной (границей может служить, например, число Отсюда следует, что последовательность имеет предел, и мы можем принять следующее определение:

Посредством подобного же процесса можно определить и произведение Определения эти можно распространить и на все случаи, когда а и какие угодно положительные или отрицательные числа, применяя обычные правила арифметики.

Упражнение. Доказать, что суммой двух вышеуказанных бесконечных десятичных дробей является действительное число

Важность понятия предела в математике заключается в том, что многие числа могут быть определены лишь как пределы (часто как пределы монотонно возрастающих последовательностей). Вот почему поле рациональных чисел, в котором такие пределы могут не существовать, слишком узко для надобностей математики.