2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения.

Независимо от «практического» основания для введения рациональных чисел существует основание более глубокое и носящее в известном смысле еще более принудительный характер. Эту сторону дела мы рассмотрим здесь совершенно независимо от приведенной выше аргументации. В обыкновенной арифметике натуральных чисел мы всегда можем выполнять основные прямые операции — сложение и умножение. Но обратные операции — вычитание и деление — не всегда выполнимы. Разность двух натуральных чисел а и b есть, по определению, такое натуральное число с, что а т. е. это есть решение уравнения а Но в области натуральных чисел символ имеет смысл

лишь при ограничении так как только при этом условии уравнение имеет решением натуральное число. На пути к снятию этого ограничения серьезный шаг был сделан уже тогда, когда был введен символ 0 для обозначения . Но еще более значительным успехом было введение символов и вместе с тем определения

для случая после этого можно было утверждать, что и вычитание обладает свойством неограниченной выполняемости в области всех целых — положительных и отрицательных — чисел. Вводя новые символы и тем самым расширяя числовую область, мы обязаны, конечно, определить операции со вновь вводимыми числами таким образом, чтобы первоначальные правила арифметических операций не были нарушены. Так, например, правило

которое лежит в основе умножения отрицательных чисел, есть следствие нашего желания сохранить дистрибутивный закон Действительно, если бы мы, скажем, декларировали, что то, полагая получили бы тогда как на самом деле

Понадобилось немало времени, чтобы среди математиков было хорошо осознано, что «правило знаков» (3) и вместе с ним все прочие определения, относящиеся как к отрицательным числам, так и к дробям, никак не могут быть «доказаны». Они создаются, или декларируются, нами самими с целью обеспечить свободу операций и притом без нарушения основных арифметических законов. Что может — и должно — быть доказываемо, это только то, что если эти определения приняты, то тем самым сохранены основные законы арифметики: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный. Даже великий Эйлер пользовался совершенно неубедительной аргументацией, желая показать, что «должно» равняться Он говорил: «рассматриваемое произведение может быть только или или —1; но —1 быть не может, так как

Совершенно подобно тому, как введение отрицательных целых чисел и нуля расчищает путь для неограниченной выполнимости вычитания, введение дробных чисел устраняет арифметические препятствия, мешающие выполнять деление. Отношение, или частное, двух целых чисел определяется как решение уравнения

и существует как целое число только в том случае, если а есть делитель Но если это не так (например, при то мы просто вводим новый символ называемый дробью и подчиненный условию, выражающемуся равенством а так что есть решение (4) «по определению». Изобретение дробей как новых числовых символов обеспечивает неограниченную выполнимость деления за исключением деления на нуль, которое исключается раз навсегда.

Выражения вроде и т.п. останутся для нас символами, лишенными смысла. Если бы мы допустили деление на 0, то из верного равенства вывели бы неверное следствие Как ни как, иногда бывает целесообразно обозначать такие выражения символом «бесконечность», однако с условием, чтобы не делалось даже попытки оперировать этим символом так, как будто бы он подчинялся обычным законам арифметики.

Теперь нам ясны принципы, согласно которым сконструирована система всех рациональных чисел — целых и дробных, положительных и отрицательных. В этой расширенной области не только полностью оправдываются формальные законы — ассоциативный, коммутативный и дистрибутивный, — но и уравнения а всегда имеют решения единственной оговоркой, что в случае второго уравнения а не должно равняться нулю. Иными словами, в области рациональных чисел так называемые рациональные операции — сложение, вычитание, умножение и деление — выполнимы неограниченно и не выводят за пределы области. Такие замкнутые числовые области называются полями. Мы повстречаемся с дальнейшими примерами полей ниже, в этой же главе, а также в главе III.

Расширение области посредством введения новых символов, совершаемое таким образом, что законы, которые имели место в первоначальной области, сохраняются и в расширенной, есть одна из форм характерного в математике принципа обобщения. Переход путем обобщения от натуральных чисел к рациональным удовлетворяет одновременно и теоретической потребности в снятии ограничений, которые наложены на вычитание и деление, и вместе с тем — практической потребности в числах, пригодных для фиксации результатов измерений. Именно тот факт, что рациональные числа идут навстречу сразу теоретической и практической потребностям, придает им особую важность. Как мы видели, расширение понятия числа совершилось путем введения новых абстрактных символов вроде 0, —2 или В наше

время мы оперируем этими символами бегло и уверенно, не вдумываясь в их природу, и трудно даже себе представить, что еще в XVII столетии они пользовались доверием гораздо в меньшей степени, чем натуральные числа, что ими, если и пользовались, то с известным сомнением и трепетом. Свойственное человеческому сознанию стремление цепляться за «конкретное» — воплощаемое в ряде натуральных чисел — обусловливает ту медленность, с которой протекала неизбежная эволюция. Логически безупречная арифметическая система может быть сконструирована не иначе, как в отвлечении от действительности.