4. Расстояние точки от поверхности.

Для расстояний точки Р от различных точек замкнутой кривой существуют (по меньшей мере) два стационарных значения: минимальное и максимальное. При переходе к трем измерениям не обнаруживается никаких новых фактов, если мы ограничимся рассмотрением такой поверхности С, которая топологически эквивалентна сфере (как, например, эллипсоид). Но если поверхность рода 1 или более высокого, то дело обстоит иначе. Рассмотрим поверхность тора С. Какова бы ни была точка Р, всегда, конечно, существуют на торе С точки, дающие наибольшее и наименьшее расстояние от Р, причем соответствующие отрезки перпендикулярны к самой поверхности. Но мы сейчас установим, что в этом случае существуют и точки минимакса. Вообразим на торе один из «меридианных» кругов (рис. 195) и на этом круге найдем точку ближайшую к Р?

Рис. 195-196. Расстояние от точки до поверхности

Затем, перемещая круг по тору, найдем такое его положение, чтобы расстояние стало: а) минимальным — тогда получается точка на С, ближайшая к Р; Ь) максимальным — тогда получится стационарная точка минимакса. Таким же образом мы могли бы найти на точку, наиболее удаленную от Р, и затем искать положение при котором найденное наибольшее расстояние было бы: с) максимальным (получится точка на С, наиболее удаленная от Р), минимальным. Итак, мы получим четыре различных стационарных значения для расстояния точки тора С от точки Р.

Упражнение. Повторить то же рассуждение для иного типа замкнутой кривой на С, которая также не может быть стянута в точку (рис. 196).