§ 7. Дифференциальные уравнения

1. Определения.

Главенствующая роль, которую показательные и тригонометрические функции играют в математическом анализе и его применениях к задачам физики, основывается на том, что эти функции являются решениями простейших «дифференциальных уравнений».

Дифференциальным уравнением относительно неизвестной функции с производной (обозначение и очень удачно сокращает обозначение поскольку величина и и ее формальная зависимость от х как функции не нуждаются в особенном подчеркивании) называется уравнение, содержащее функцию и, производную и, может быть, независимое переменное х, как, например,

или

В более общем случае дифференциальное уравнение может содержать вторую производную или производные более высокого порядка, как, например, уравнение

Во всех подобных случаях задачей является нахождение функции удовлетворяющей данному уравнению.

Решение дифференциальных уравнений есть широкое обобщение задачи интегрирования, понимаемой как нахождение первообразной функции по заданной функции последнее сводится к решению простейшего дифференциального уравнения

Например, решениями дифференциального уравнения

являются функции где с — произвольное постоянное.