Главная > Что такое математика?
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 8. Изопериметрическая проблема

Что среди всех замкнутых кривых данной длины именно окружность охватывает наибольшую площадь — это один из «очевидных» фактов математики, строгое доказательство которых возможно только на основе новейших методов. Несколько остроумных способов доказательства этой теоремы предложил Штейнер; мы рассмотрим одно из его доказательств.

Рис. 226. К доказательству решения изопериметрической проблемы

Начнем с допущения, что решение проблемы существует. Приняв это, предположим, что это решение осуществляется некоторой кривой С, имеющей длину и охватывающей максимальную площадь. Легко доказать, что кривая С выпуклая: это значит, что прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки С, лежит целиком внутри или на С. Если бы кривая С не была выпуклой, то, как показано на рис. 226, можно было бы указать отрезок конечные точки которого находились бы на С, а сам он был бы вне С. Дуга отражение дуги относительно образовывала бы вместе с дугой кривую длины охватывающую площадь, большую, чем охватывает данная кривая С, так как включала бы дополнительно площади I и II. Это противоречило бы допущению, что при данной длине кривая С охватывает наибольшую площадь. Итак, кривая С должна быть выпуклой. Возьмем теперь какие-нибудь две точки которые делят кривую С (являющуюся решением проблемы) на две дуги равной длины. Тогда отрезок разделит область, ограниченную кривой С, на две равновеликие области.

В самом деле, если бы площади двух областей не были равны, то область большей площади можно было бы отразить относительно (рис. 227), и тогда получилась бы замкнутая кривая длины охватывающая площадь, большую чем та, которую охватывает кривая С.

Рис. 227. К доказательству решения изопериметрической проблемы

Отсюда следует, что любая незамкнутая кривая, представляющая собой половину (по длине) кривой С, является решением следующей проблемы: найти дугу длины с конечными точками охватывающую вместе с отрезком максимальную площадь. Мы покажем теперь, что решением этой новой проблемы является полуокружность, и тогда будет ясно, что решением основной проблемы является окружность. Итак, пусть дуга решает новую проблему. Достаточно убедиться в том, что всякий вписанный угол, например, (рис. 228), будет прямым: отсюда будет вытекать, что дуга полуокружность. Допустим, напротив, что угол не прямой. Заменим тогда треугольник другим треугольником с теми же сторонами и но с заключенным между ними углом в тогда длина дуги останется та же и притом заштрихованные фигуры не изменятся. Но площадь треугольника при этом увеличится, так как треугольник с двумя данными сторонами имеет максимальную площадь при условии, что заключенный между ними угол — прямой (см. стр. 380). Итак, новая дуга (рис. 229) вместе с отрезком охватит большую площадь, чем первоначальная. Полученное противоречие приводит к заключению, что, какова бы ни была точка О на рассматриваемой дуге угол должен быть прямым. В таком случае доказательство можно считать законченным: кривая, решающая изопериметрическую проблему, есть окружность.

Рис. 228. К доказательству решения изопериметрической проблемы

Рис. 229. К доказательству решения изопериметрической проблемы

Изопериметрическое свойство окружности может быть выражено в форме неравенства. Если есть длина окружности, то охватываемая ею площадь равна и потому, какова бы ни была замкнутая кривая, непременно оправдывается следующее изопериметрическое неравенство, связывающее длину кривой С и охватываемую ею площадь А:

Равенство здесь имеет место только в случае окружности.

Как ясно из соображений, приведенных в § 7, доказательство Штейнера имеет лишь условное значение: «Если существует кривая С длины охватывающая максимальную площадь, то эта кривая — окружность». Чтобы установить справедливость указанной предпосылки, нужна существенно иная аргументация. Прежде всего установим теорему элементарного содержания: среди всевозможных замкнутых многоугольников с четным числом сторон и обладающих периметром заданной длины наибольшую площадь имеет правильный -угольник. Доказательство строится по тому же образцу, что и приведенное выше доказательство Штейнера, со следующими изменениями. С вопросом о существовании решения здесь трудностей не возникает: -угольник, а также его периметр и площадь, зависит непрерывно от координат его вершин, и, не ограничивая общности, область изменения этих координат -мерном пространстве) можно сделать компактной. Таким образом, мы можем смело начинать с утверждения, что некоторый -угольник Р есть решение рассматриваемой теперь проблемы, и затем переходить к анализу его свойств. Как и в штейнеровском доказательстве, доказывается, что многоугольник Р выпуклый. Затем убедимся, что все сторон Р равны между собой. Допустим, напротив, что две смежные стороны и имеют различные длины; тогда можно от многоугольника Р отрезать треугольник и заменить его равнобедренным треугольником в котором и площадь которого больше (см. § 1). Тогда мы получим многоугольник Р с тем же периметром, но с большей площадью, вопреки сделанному допущению. Итак, все стороны Р должны быть равны между собой. Остается показать, что многоугольник Р правильный: для этого достаточно убедиться, что около Р можно описать окружность. Доказательство строится дальше, как у Штейнера. Устанавливаем прежде всего, что всякая диагональ, соединяющая противоположные вершины, делит площадь на две равные части. Затем Доказываем, что все вершины одного из многоугольников,

возникающего при разрезании по диагонали, лежат на одной и той же окружности. Восстановить подробности намеченных доказательств (следующих образцу Штейнера) предоставляем читателю в качестве упражнения.

Рис. 230. К доказательству решения изопериметрической проблемы

Существование решения изопериметрической проблемы доказывается с помощью предельного перехода: когда мы увеличиваем неограниченно число сторон многоугольника Р, он в пределе переходит в окружность. Этот же предельный переход дает, очевидно, и само решение.

Рассуждение Штейнера непригодно для доказательства изопериметрического свойства сферы в трехмерном пространстве. Сам Штейнер дал несколько иную, более сложную трактовку этой проблемы, пригодную для пространственного случая, но мы не приводим ее, так как на ее основе трудно получить доказательство существования решения. Вообще доказательство изопериметрического свойства сферы гораздо труднее, чем доказательство соответствующего свойства окружности; в достаточно полном и строгом изложении оно было дано позднее Г. А. Шварцем в работе, чтение которой довольно затруднительно. Свойство, о котором мы говорим, выражается в виде неравенства

где А — площадь замкнутой поверхости, V — охватываемый ею объем; равенство осуществляется лишь для сферы.

1
Оглавление
email@scask.ru