Главная > Что такое математика?
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Одно важное неравенство.

В следующей главе нам понадобится неравенство

имеющее место при всяком удовлетворяющем условию и при любом целом положительном значении . (Ради общности мы предвосхищаем здесь применение отрицательных и нецелых чисел, предполагая, что может быть любым числом, большим, чем —1. Доказательство неравенства — одно и то же, независимо от того, каково число Мы воспользуемся и на этот раз математической индукцией.

а) Если верно, что то, умножая обе части неравенства на положительное число мы получаем:

Отбрасывая вовсе положительный член мы только усилим это неравенство; итак,

Полученный результат показывает, что неравенство (6) имеет место и при б) Совершенно очевидно, что Таким образом, доказательство закончено.

Ограничение, заключающееся в условии существенно. Если то отрицательно, и рассуждение а) отпадает, так как при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства должен измениться. (Например, умножая обе части неравенства на —1, мы получили бы а это неверно.)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление