5. Одно важное неравенство.
В следующей главе нам понадобится неравенство
имеющее место при всяком 
удовлетворяющем условию 
и при любом целом положительном значении 
. (Ради общности мы предвосхищаем здесь применение отрицательных и нецелых чисел, предполагая, что 
может быть любым числом, большим, чем —1. Доказательство неравенства — одно и то же, независимо от того, каково число 
Мы воспользуемся и на этот раз математической индукцией.
а) Если верно, что 
то, умножая обе части неравенства на положительное число 
мы получаем:
Отбрасывая вовсе положительный член 
мы только усилим это неравенство; итак,
Полученный результат показывает, что неравенство (6) имеет место и при 
б) Совершенно очевидно, что 
Таким образом, доказательство закончено.
Ограничение, заключающееся в условии 
существенно. Если 
то 
отрицательно, и рассуждение а) отпадает, так как при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства должен измениться. (Например, умножая обе части неравенства 
на —1, мы получили бы 
а это неверно.)
