3. Одно из применений к теории вероятностей.

Алгебра множеств имеет ближайшее отношение к теории вероятностей и позволяет взглянуть на нее в новом свете. Рассмотрим простейший пример: представим себе эксперимент с конечным числом возможных исходов, которые все мыслятся как «равновозможные». Эксперимент может, например, заключаться в том, что мы вытягиваем наугад карту из хорошо перетасованной полной колоды. Если множество всех исходов эксперимента обозначим через I, а А обозначает какое-нибудь подмножество I, то вероятность того, что исход эксперимента окажется принадлежащим к подмножеству А, определяется как отношение

Если условимся число элементов в каком-нибудь множестве А обозначать через то последнему равенству можно придать вид

В нашем примере, допуская, что А есть подмножество треф, мы получим

Идеи алгебры множеств обнаруживаются при вычислении вероятностей тогда, когда приходится, зная вероятности одних множеств, вычислять вероятности других. Например, зная вероятности можно вычислить вероятность

Доказательство не представляет труда. Мы имеем

так как элементы, содержащиеся одновременно в А и в В, т. е. элементы считаются дважды при вычислении суммы и, значит, нужно вычесть из этой суммы, чтобы подсчет был произведен правильно. Деля затем обе части равенства на мы получаем соотношение (2).

Более интересная формула получается, если речь идет о трех множествах А, В, С из Пользуясь соотношением (2), мы Имеем

Закон (12) из предыдущего пункта дает нам: Отсюда следует

Подставляя в полученное раньше соотношение значение и значение взятое из (2), мы приходим к нужной нам формуле

В качестве примера рассмотрим следующий эксперимент. Три цифры 1, 2, 3 пишутся в каком попало порядке. Какова вероятность того, что по крайней мере одна из цифр окажется на надлежащем (в смысле нумерации) месте? Пусть А есть множество перестановок, в которых цифра 1 стоит на первом месте, В — множество перестановок, в которых цифра 2 стоит на втором месте, С — множество перестановок, в которых цифра 3 стоит на третьем месте. Нам нужно вычислить Ясно, что

действительно, если какая-нибудь цифра стоит на надлежащем месте, то имеются две возможности переставить остальные две цифры из общего числа возможных перестановок трех цифр. Далее,

так как в каждом из этих случаев возникает только одна возможность. И тогда формула (3) дает нам

Упражнение. Вывести соответствующую формулу для и применить ее к эксперименту, в котором будут участвовать 4 цифры. Соответствующая вероятность равна

Общая формула для объединения множеств имеет вид

где символы обозначают суммирование по всем возможным комбинациям, содержащим одну, две, три, букв из числа Эта формула может быть установлена посредством математической индукции — точно так же, как формула (3) была выведена из формулы (2).

Из формулы (4) можно заключить, что если цифр написаны в каком угодно порядке, то вероятность того, что по крайней мере одна из цифр окажется на надлежащем месте, равна

причем перед последним членом стоит знак или смотря по тому, является ли четным или нечетным. В частности, при эта вероятность равна

В главе VIII мы увидим, что, когда стремится к бесконечности, выражение

стремится к пределу значение которого, с пятью знаками после запятой, равно 0,36788. Так как из формулы (5) видно, что то отсюда следует, что при