5. Парадоксы бесконечного.

Хотя бескомпромиссная позиция, занятая интуиционистами, с точки зрения большинства

математиков является слишком экстремистской, волей-неволей приходится согласиться, что для внешне прекрасной теории бесконечных множеств возникла серьезная угроза, когда в пределах самой этой теории обнаружились совершенно явные логические парадоксы. Очень скоро было замечено, что неограниченная свобода в пользовании понятием «множество» неизбежно ведет к противоречиям. Мы приведем здесь один из парадоксов, обнаруженный Бертраном Расселом. Вот в чем он заключается.

Как правило, множества не содержат себя в качестве элемента. Например, множество А всех целых чисел содержит в качестве элементов только целые числа; так как само А не есть целое число, а есть множество целых чисел, то А себя в качестве элемента не содержит. Условимся называть такие множества «ординарными». Но могут существовать и такие множества, которые содержат себя в качестве элемента. Рассмотрим, например, множество определенное следующим образом: содержит в качестве элементов все множества, которые можно определить посредством предложения, содержащего меньше двадцати слов». Так как само множество S определяется предложением, содержащим меньше двадцати слов, то выходит, что оно является элементом множества Такие множества назовем «экстраординарными». Как бы то ни было, большинство множеств — ординарные; попробуем не иметь дела с дурно ведущими себя экстраординарными множествами и будем рассматривать только множество всех ординарных множеств. Обозначим его буквой С. Каждый элемент С есть множество, притом ординарное множество. Но вот возникает вопрос: а само множество ординарное или экстраординарное? Несомненно, оно должно быть или тем, или другим. Если С — ординарное множество, то оно содержит себя в качестве элемента, так как С определено как множество всех ординарных множеств. Раз дело обстоит так, значит, С — экстраординарное множество, так как экстраординарными, согласно определению, названы множества, содержащие себя в качестве элемента. Получается противоречие. Значит, С должно быть экстраординарным множеством. Но тогда множество С содержит в качестве элемента себя, т. е. оно есть экстраординарное множество, а это противоречит определению С как множества всех ординарных множеств. Итак, мы видим, что уже одно только допущение существования множества С внутренне противоречиво.