§ 1. Формула Эйлера для многогранников

Хотя в античной геометрии изучение многогранников занимало одно из центральных мест, только Декарту и Эйлеру было суждено открыть следующее предложение: пусть V — число вершин простого многогранника, Е — число ребер, число граней: тогда непременно

Рис. 119. Правильные многогранники

Под многогранником здесь подразумевается тело, поверхность которого состоит из конечного числа граней, имеющих форму многоугольников. В случае правильных многогранников все многоугольники конгруэнтны и все плоские углы при вершинах равны между собой. Многогранник называется простым, если в нем нет «дыр», так что посредством непрерывной деформации его поверхность может быть переведена в поверхность сферы. На рис. 120 изображен простой многогранник, который не является правильным; на рис. 121 изображен многогранник, который не является простым.

Предлагаем читателю проверить справедливость формулы Эйлера для всех многогранников, представленных на рис. 119 и 120; но пусть он убедится также, что для многогранника на рис. 121 эта формула неверна.

Переходя к доказательству формулы Эйлера, вообразим, что наш многогранник внутри пустой и что поверхность его сделана из тонкой

Рис. 120. Простой многогранник

Рис. 121. Непростой многогранник

резины. Тогда, вырезав предварительно одну из граней пустого внутри многогранника, можно оставшуюся поверхность деформировать таким образом, что она расстелется по плоскости. Конечно, при этом и грани многогранника и углы между ребрами испытают резкие изменения. Но «сетка», составленная из вершин и ребер на плоскости, будет содержать то же число вершин и ребер, что и первоначальный многогранник, тогда как число граней станет на одну меньше, так как одна грань была вырезана. Мы убедимся теперь, что для полученной нами сетки на плоскости будет справедливо равенство тогда, добавляя вырезанную грань, для первоначального многогранника получим равенство

Прежде всего «триангулируем» плоскую сетку следующим образом. Если в сетке имеются многоугольники с числом углов, большим трех, то, выбрав один из них, проведем в нем какую-нибудь диагональ. В результате каждое из чисел увеличится на единицу, но значение выражения от этого не изменится. Будем и дальше проводить диагонали, соединяя пары точек (рис. 122), пока сетка не окажется состоящей из одних только треугольников (в чем и заключается наша ближайшая цель). В триангулированной сетке величина имеет то же значение, какое имела и до триангуляции, так как проведение каждой новой диагонали этого значения не меняет. Некоторые из

Рис. 122. Доказательство теоремы Эйлера

треугольников, далее, имеют ребра (проще сказать — стороны), принадлежащие к «границе» триангулированной сетки. Некоторые из этих треугольников (например, имеют лишь одно ребро на границе, другие — по два. Возьмем один из такого рода «граничных» треугольников и удалим из него все то, что не принадлежит какому-нибудь другому треугольнику. Так, в треугольнике удалим ребро и саму грань, оставляя вершины А, В, С и ребра и но в треугольнике удалим грань, два ребра и и вершину При «уничтожении» треугольника числа уменьшаются на 1, а У не изменяется, так что также не изменяется. При уничтожении треугольника типа уменьшится на 1, Е на 2 и F на 1, так что опять-таки не изменится. Последовательное осуществление таких удалений граничных треугольников (причем всякий раз меняется и сама граница) приводит, наконец, к одному-единственному треугольнику, имеющему, очевидно, три ребра, три вершины и одну грань. Для образуемой им совсем простой сетки Но мы видели, что при «уничтожении» каждого треугольника не изменялось. Значит, должно было равняться единице и для первоначальной плоской сетки, а также и для того многогранника с вырезанной гранью, из которого была получена плоская сетка. Отсюда следует, что для исходного многогранника (до вырезания грани) должно было иметь место равенство Этим и заканчивается доказательство теоремы Эйлера.

С помощью теоремы Эйлера легко показать, что существует не более пяти типов правильных многогранников. Предположим, что правильный многогранник имеет граней, из которых каждая есть правильный -угольник,

и что у каждой вершины сходится ребер. Считая ребра один раз по граням, другой — по вершинам, получим, во-первых,

(так как каждое ребро принадлежит двум граням и, следовательно, считается дважды в произведении и, во-вторых,

(так как каждое ребро упирается в две вершины). Тогда равенство Эйлера (1) нам дает

или

Заметим прежде всего, обращаясь к рассмотрению последнего соотношения, что так как многоугольник имеет не меньше трех сторон и в каждой вершине сходится не менее трех граней. С другой стороны, оба числа не могут быть более 3, так как в противном случае левая часть равенства (4) не превышала бы и равенство было бы невозможно ни при каком положительном значении Е. Итак, нам остается выяснить, какие значения может принять если и какие значения может принять если Подсчитав все возникающие возможности, мы получим число типов правильных многогранников.

При равенство (4) принимает вид

может здесь равняться 3, 4 или 5 (6 или большее значение исключается, так как 1 положительно.) При этих значениях оказывается, что Е соответственно равно 6, 12 или 30. Так получаются многогранники: тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.

Таким же образом, при равенство (4) принимает вид

из которого следует, что или 5, и соответственно, или 30. Получаются многогранники: тетраэдр, куб и додекаэдр.

Подставляя полученные значения и Е в соотношения (2) и (3), мы установим число вершин V и число граней соответствующих многогранников.

Рис. 123. Поверхности, топологически эквивалентные