3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение.

В нашем геометрическом определении интеграла как площади мы явно предполагали, что функция во всем промежутке интегрирования неотрицательна, т. е. что никакая часть графика не лежит под осью х. В аналитическом же определении интеграла как предела последовательности сумм такое предположение является излишним. Мы просто возьмем малые количества составим их сумму и перейдем к пределу; эта процедура остается имеющей вполне определенный смысл и в том случае, если некоторые или все значения отрицательны. Интерпретируя это геометрически с помощью площадей (рис. 261), мы приходим к заключению, что интеграл от представляет собой алгебраическую сумму площадей, ограниченных графиком и осью х, причем площади, лежащие под осью х, считаются отрицательными, остальные — положительными.

Может случиться, что в тех или иных случаях мы придем к интегралам в которых b меньше, чем а, так что

Рис. 261. Положительные и отрицательные площади

окажется отрицательным числом. Тогда в нашем аналитическом определении члены вида будут отрицательными, если положительно, а отрицательно, и т.д. Другими словами, величина этого интеграла будет только знаком отличаться от величины интеграла в пределах от до а. Таким образом получаем следующее простое свойство интеграла:

Далее, нужно подчеркнуть, что значение интеграла не меняется и в том случае, если точки деления не будут выбираться равностоящими, другими словами, если разности не будут одинаковы. Мы можем выбрать произвольно, и тогда разности должны быть различаемы с помощью соответствующих значков. Даже в этом предположении сумма

а также сумма

будут стремиться к одному и тому же пределу, именно к значению интеграла если только мы позаботимся о том, чтобы с возрастанием х все разности стремились к нулю таким образом, чтобы наибольшая из них (при данном значении стремилась к нулю, когда неограниченно возрастает.

Окончательное определение интеграла дается с помощью формулы

Рис. 262. Произвольность разбиения области определения функции при общем определении интеграла

при Под знаком суммы число может обозначать любую точку в промежутке и единственное ограничение, касающееся способа разбиений основного промежутка, заключается в том, чтобы наибольшая из разностей стремилась к нулю, когда стремится к бесконечности.

Существование предела (6а) не требует доказательства, если мы допустим как само собой разумеющееся понятие «площади под кривой», а также и возможность приближения этой площади с помощью прямоугольников. И все же, как это выяснится из дальнейших рассуждений (стр. 527), более глубокий анализ показывает, что для того, чтобы определение интеграла было логически совершенным, желательно и даже необходимо доказать существование этого предела, независимо от первоначального геометрического представления о площади и притом какова бы ни была непрерывная функция