3. Экстремальные проблемы элементарного содержания.

В задачах элементарного содержания бывает достаточно внимательно проанализировать условия, чтобы уяснить, как обстоит дело с существованием решения. В главе VI, § 5, было исследовано общее понятие компактного множества и было установлено, что непрерывная функция, заданная на некотором множестве элементов, для каких-то элементов множества непременно достигает своих экстремальных значений, если данное множество обладает свойством компактности. В любой из вышеприведенных элементарных проблем сравниваемые между собой числовые элементы могли быть рассматриваемы как значения функции одной или нескольких переменных в области, которая или была компактным множеством, или — без существенного видоизменения проблемы — могла быть сделана таковым. В таких случаях существование максимума или минимума не подлежало сомнению. Остановимся, в качестве примера, на проблеме Штейнера. Рассматриваемая в ней величина есть сумма трех расстояний, и эта последняя зависит от положения точки непрерывно. Хотя область, в которой может двигаться точка, есть вся плоскость, мы можем без ограничения общности провести окружность большого радиуса (включающую весь рисунок) и подчинить точку условию находиться внутри этой окружности или на ней самой. В самом деле, если движущаяся точка будет находиться достаточно далеко от вершин треугольника, сумма трех расстояний от

сторон, наверное, превысит а последняя величина принадлежит к числу подлежащих сравнению значений нашей функции. Таким образом, если существует минимум для «ограниченной» проблемы (когда точка подчинена дополнительному ограничению), то существует минимум и для неограниченной проблемы. С другой стороны, нетрудно удостовериться, что множество, состоящее из точек внутри круга или на его границе, компактно. Итак, существование минимума в случае проблемы Штейнера доказано.

Рис. 224. Кривые, между которыми нет ни наименьшего, ни наибольшего расстояния

Насколько существенно свойство компактности области, в которой изменяется независимое переменное, обнаруживает следующий пример.

Если заданы две замкнутые кривые то всегда можно найти на соответственно две такие точки что расстояние между ними минимально, и можно найти две такие точки что расстояние между ними максимально. Действительно, расстояние между точкой на и точкой на есть непрерывная функция, заданная на компактном множестве, элементы которого — пары точек Напротив, если данные кривые, не будучи замкнутыми, уходят в бесконечность, проблема может и не иметь решения. На рис. 224 изображены две такие кривые, что ни наименьшее, ни наибольшее расстояния между соответственно принадлежащими им точками не достигаются: при этом нижняя граница расстояний равна нулю, верхняя граница бесконечна. В иных случаях существует минимум, но не существует максимума. Так, в случае двух ветвей гиперболы (рис. 17, стр. 108) минимальное расстояние реализуется для вершин , тогда как нельзя указать пары точек, между которыми расстояние было бы максимальным.

Нетрудно понять, чем обусловливается различие между двумя предыдущими примерами; для этого достаточно искусственно ограничить область изменения переменных. Возьмем произвольное положительное число и подчиним абсциссы точек ограничению Тогда для обеих проблем будет существовать и минимум, и максимум. Но в первом примере и минимум, и максимум достигаются на границе области, каково бы ни было и при неограниченном возрастании соответствующие точки удаляются в бесконечность. Напротив, во втором примере минимальное расстояние достигается внутри области, и точки, его Реализующие, остаются неподвижными, как бы ни возрастало